從高位乘起的豎式算法引發的探索

漫步

在數學的世界里，總有一些探索和發現能讓我們眼前一亮，就像今天課堂上發生的這段小插曲。 周一，沒有新課的安排，趁著這個時間，我仔細批改起了學生們的作業。看著那一份份作業，我發現上周學的兩位數乘兩位數不進位的豎式計算，孩子們掌握得還不是特別扎實，通過課堂檢測，正確率有待提高。 在批改作業的過程中，我偶然發現了一位同學獨特的算法。他列豎式時，和口算的步驟一樣，先從第二個乘數十位上的數乘第一個乘數，然后再算個位。這引起了我的注意，于是我決定在課堂上和同學們一起探討這種算法。 上課伊始，我把這位同學的作業展示在大屏幕上。僅僅展示了一秒，同學們就驚訝地睜大了眼睛，發出驚嘆的表情。從他們的解讀中，我能感覺到這種算法似乎并不被大家推薦或者認可。我讓同學們再仔細看看，看誰能讀懂這種算法。過了5秒，大概有五六位同學舉起了手。隨后，我點名一位同學發言，那位同學很快就發現了這種豎式是從十位乘起的。 接著，我拋出了一個開放性的問題：“這樣乘可不可以呢？”教室里頓時熱鬧起來，有的同學說不行，有的同學說行。我又進一步追問：“說行的同學，是什么理由呢？說不行的同學，又有什么理由呢？”說行的同學認為他的計算結果是正確的，計算過程也是正確的；而說不行的同學則覺得我們平時的豎式都是從個位乘起，他為什么要從十位乘起呢？ 為了讓大家更清楚地了解這種算法，我請提出這種方法的江星睿同學到講臺上講解。同學們紛紛向他提問，有的問：“你為什么會有這種做法呢？”江星睿同學回答：“我就想從高位算起，先算十位，然后算個位，然后把兩次的積相加也行。”還有同學追問：“你喜歡總有個理由吧，你為什么喜歡這種算法？這種算法你是怎么得到的？”他接著回答：“我就是覺得這樣算挺方便的。” 聽到這里，我繼續追問：“這種算法適合任何兩位數乘兩位數的豎式計算嗎？”江星睿同學頓時啞口無言。于是，我引導同學們進行探究，能否找出一個反例，不能用這種方法計算的。孩子們積極思考，想到了最大的兩位數乘兩位數就是99×99，經過嘗試，發現從高位算起的列豎式方法也行。那既然兩位數乘兩位數可以，兩位數乘三位數的可不可以呢？有些基礎好的同學試著用三位數乘兩位數進行計算，結果發現還是行。也就是說，找不到任何一個反例，這就證明了這種算法完全可行。 通過交流，孩子們驚喜地發現，這種算法其實就是我們口算兩位數乘兩位數的方法。把一個兩位數拆成一個整十數和一位數，接著用一個乘數乘這個整十數，然后再用第一個乘數乘一位數，最后把兩次的積相加。 在大家認可了這種做法之后，陳湛綱同學舉手了。他質問江星睿：“你把乘法從高位算起，那為什么加減法豎式計算非要從個位算起呢？”這個問題一下子把江星睿問住了，他站在講臺上，不知道如何接話。于是，我鼓勵其他同學幫助他回答。 王松濤同學首先發言：“在加法中，如果從高位算起的話，萬一十位和個位都要進位，那就比較麻煩了。所以加法的豎式要從個位算起。”焦一彤同學也補充道：“減法也是差不多的道理呀。當從高位算起的時候，如果哪個位不夠減，萬一要退位怎么辦？所以減法也必須從個位減起。” 在以上討論的基礎上，大家一致認為，兩位數乘兩位數的乘法從高位乘起，不會遇到進位或者退位的問題。這時，我又提出了一個新的問題：“為什么我們書上推薦的一直是從個位乘起的呢？我們的老祖宗為什么將這一種做法流傳下來，并被編者認可編到數學書中呢？相信我們的老祖宗肯定也有像江星睿這樣的，也是從高位算起的，那為什么這種算法會被淘汰呢？”這個問題一出，感覺孩子們都有點懵了。有的孩子建議找課外書看看，有的孩子建議回家問問家長。 幸運的是，我們班陳湛綱的媽媽正好是教高中數學的。我建議他回去問問媽媽，看看媽媽有什么想法。 在上課的后二十分鐘，我們接著進行比賽訓練。通過比賽訓練，有的孩子發現了江星睿這種從高位算起的算法存在一些不便之處。比如，在寫算式的時候，每算一個算式，他在十位相乘的時候都補了一個零，而且還補了一個加號，有同學就表示這種算法比較麻煩，沒有書上的簡便算法簡潔。 然而，當我轉念問江星睿時，他說這個也可以寫得更方便一點。同學們又開始疑惑了：那為什么就不認可呢？ 第二天，陳湛綱問了他在高中教數學的媽媽，得到的答案是這種算法行，但是不規范。這又引出了新的問題：什么是規范呢？ 規范源于拉丁語“norma”，指對事物（如形狀、尺寸、比例）或行為進行統一規定，確保其符合特定要求。那么乘法豎式的規范是什么呢？ 乘法豎式的書寫規范是為了確保計算過程清晰、邏輯嚴謹，同時便于檢查與核對。以下是其核心規范要點及具體說明：**一、數位對齊規則**1. 末位對齊原則兩個數的最后一位（個位）必須對齊，例如計算兩位數乘三位數時，個位對齊后逐位相乘。示例：123×45，個位的“3”與“5”對齊，其他數位依次向左排列。2. 數字較多的數寫在上方為減少計算步驟，通常將位數較多的數作為被乘數（寫在上方），位數少的數作為乘數（寫在下方）。舉例：計算385×24時，三位數385寫在上方，兩位數24寫在下方。**二、特殊情況的處理**1. 末尾含“0”的簡化寫法若兩數末尾有“0”，只需將非零部分的末位對齊，計算完成后在積的末尾補上共有的“0”。示例：250×40，對齊“5”和“4”，計算后積末尾補兩個0，結果為10000。2. 小數乘法的對齊與小數點定位小數乘法需按整數乘法規則計算，最后根據兩數的小數位數之和確定積的小數點位置。注意：若積的末尾有0，需先點小數點再省略0。例如0.25×0.4 = 0.100→簡化為0.1，但實際小數位數仍保留三位。**三、分步相乘與進位規則**1. 逐位相乘與部分積書寫從乘數的個位開始，依次與被乘數的每一位相乘，所得部分積按數位對齊后疊加。步驟示例（23×45）： 23 ×45 115 （23×5的積，個位對齊）+920 （23×40的積，十位對齊） 1035部分積需根據乘數的數位左移相應位數。2. 進位處理某一位的乘積超過10時，需向前一位進位。例如7×8 = 56，將5進位至十位，6保留在當前位。進位值需直接加至高位乘積中，避免遺漏。**四、豎式結構要求**1. 橫線與分隔符被乘數、乘數與積之間需用橫線分隔，部分積疊加時用“+”連接。豎式整體結構需上下對齊，避免錯位導致計算錯誤。2. 進位標注（可選）初學階段可在豎式上方標注進位值，例如個位相乘的進位寫在十位旁，便于檢查。**五、總結與練習建議**規范書寫的意義在于減少計算錯誤，提升邏輯清晰度，尤其為多位數乘法打下基礎。練習方法可以從兩位數乘一位數開始，逐步過渡到復雜豎式，結合點子圖、表格輔助理解算理。易錯點提醒：小數乘法需注意對齊非零末位而非小數點；末尾補0時需先確認小數點位置。 通過以上的規范講解，我們明白了乘法豎式不僅能高效記錄計算過程，還能幫助學生理解數位、進位的數學本質，從而提升運算能力。而在本單元的數學文化介紹“你知道嗎”一欄中，我們還能看到古印度的計算方法就是使用的從高位算起。這讓我們明白，數學的發展是一個不斷探索和創新的過程，每一種方法都有其獨特的價值和意義。

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