關于“模型思想”的理解

孫兆輝

讀了與模型有關的數學思想，結合平時聆聽專家解讀與教學實踐，對模型思想有了更全面更深入的理解。 一、對于“模型思想”的解讀： 1.課標中的“模型思想”。 “模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括:從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量變化和變量規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用知識。小學階段有兩個典型的模型“路程=速度x時間”、“總價=單價x數量”，有了這些模型，就可以建立方程等去闡述現實世界中的“故事”,就可以幫助我們去解決問題。 2.專家解讀的“模型思想” 張丹教授的解讀。“通過建模，把數學應用到客觀世界中，溝通了數學與外部世界的橋梁。比如，由數量抽象到數，由數量關系抽象到方程、函數(如正反比例)等;通過推理計算可以求解方程;有了方程等模型，就可以把數學應用到客觀世界中。” 張奠宙教授的解讀。張奠宙教授認為，“廣義地講，數學中各種基本概念和基本算法,都可以叫做數學模型。加減乘除都有各自的現實原型，它們都是以各自相應的現實原型作為背景抽象出來的。但是，按通行的比較狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統和數學關系結構才叫做數學模型。例如，平均分派物品的數學模型是分數;元角分的計算模型是小數的運算;”雞兔同籠”中的模型思想等。 王永春教授解讀“模型思想” 數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。從廣義角度講，數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關系式、圖表、程序等都是數學模型。數學的模型思想是一般化的思想方法，數學模型的主要表現形式是數學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數學家對數學模型的理解似乎更注重數學的應用性,即把數學模型描述為特定的事物系統的數學關系結構。如通過數學在經濟、物理、農業、生物、社會學等領域的應用，所構造的各種數學模型。 3. 數學模型結構的特點： 模型思想就是一種數學關系結構，教學過程主要通過“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的模式展開。 數學建模主要是培養學生應用數學來解決實際問題的能力，它的指導思想是從實際中來，通過數學再去指導實際應用。這就要求它本身是一個尋找、分析、建模、計算、驗證的完整過程。 數學模型有兩個主要特點： 其一，它是經過抽象出對象的一些非本質屬性以后所形成的一種純數學關系結構。 其二，這種結構是借助數學符號來表示，并能進行數學推演的結構。數學模型思想作為建立數學與外部世界的聯系，是學生必須要掌握的基本數學思想之一。 數學建模的思維過程 二、案例“雞兔同籠”中的方程、模型思想 1.方程思想方程是刻畫現實世界的有效模型，通過把生活語言“翻譯”成代數語言，根據問題中的已知數和未知數之間的等量關系，在已知數與未知數之間建立一個等式，這就是方程思想的由來。用方程表示數量關系，不僅體現方程的應用價值，也有助于學生形成模型思想。例如：在“雞兔同籠”的問題中，可以設雞或兔中任意一種有x只，然后根據雞、兔的只數與腳的總只數的關系列方程來解答。例如設兔有x只，則雞有（7－x）只，可列方程：4x＋2(7－x)=18，解得x=2，于是雞有：7－2＝5（只）。方程解法思路比較簡單，且具有一般性，教學中突出方程解法的優越性，不斷滲透方程思想。 2.建模思想在小學階段，就是把數學研究對象的某些特征進行抽象，用數學語言、圖形或模式表達出來，建立數學模型。在解決了“雞兔同籠”問題后，可以引導學生觀察、思考，概括提煉出解題模型：兔數=（實際的腳數－雞兔總數×2）÷（4－2），雞數=（雞兔總數×4－實際的腳數）÷（4－2）。之后在應用中引導學生鞏固、擴展這個模型，把“雞”與“兔”換成烏龜和仙鶴等，變式為“龜鶴問題”、“坐船問題”、“植樹問題”、“答題問題”等問題，溝通這些問題與“雞兔同籠”問題的聯系，使“雞兔同籠”成為這些問題的模型，并應用模型解決問題，不斷促進模型的內化。教學中重視學生建模思想的培養，使數學建模成為學生思考問題與解決問題的一種思想和方法。雞兔同籠問題中還滲透化歸思想、假設思想等，也就是說，一種解法中可以蘊含不同的數學思想，而不同解法中可以蘊含同一種數學思想。 正如書中所說，模型思想更加重視如何經過分析抽象建立模型，更加重視如何應用數學解決生活和科學研究中的各種問題。在教學中結合數學的應用和解決問題的教學，要注意貫徹課程標準的理念：一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會學生如何建立模型，并喜歡數學。

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孫兆輝