無心劍中譯邁克《代數的定義》

無心劍

math is the best languagethat we can use to communicatewith the omnipotent Godwe can use this magic languageto express the deepest secretof the universe beautifullywe can experienceeternal beautyin the world of math Definition of Algebra 代數的定義 Learning algebra is a little like learning another language. In fact,algebra is a simple language, used to create mathematical models of real-world situations and to handle problems that we can't solve using just arithmetic. Rather than using words, algebra uses symbols to make statements about things. In algebra, we often use letters to represent numbers. 學代數有點像學外語。實際上，代數是一種簡單的語言，用于對現實世界建立數學模型，而且還用于處理一些僅用算術無法解決的問題。代數不是使用文字，而是使用符號來對事物進行表述。我們在代數中常常用字母來代替數字。 Since algebra uses the same symbols as arithmetic for adding,subtracting, multiplying and dividing, you're already familiar with the basic vocabulary. 既然代數也跟算術一樣使用加減乘除符號，你已經很熟悉這些基本詞匯了。 In this lesson, you'll learn some important new vocabulary words, and you'll see how to translate from plain English to the "language" of algebra. 這一課，你將學習一些新的重要詞匯，你將看到如何把日常用語翻譯成代數語言。 The first step in learning to "speak algebra" is learning the definitions of the most commonly used words. 學習"說代數"的第一步，就要學習這些最常用術語的定義。 代數式|變量|系數|常量|實數|有理數|無理數|把文字轉變為表達式 Algebraic Expressions 代數式 An algebraic expression is one or more algebraic terms in a phrase. It can include variables, constants, and operating symbols, such as plus and minus signs. It's only a phrase, not the whole sentence, so it doesn't include an equal sign. 一個代數式是由一個或多個代數項構成的短語。它能包含變量、常量、運算符，例如加號和減號。代數式只是短語，而非完整句子，因此它不包含等號。 Algebraic expression: 3x^2 + 2y + 7xy + 5 代數式：3x^2+ 2y + 7xy + 5 In an algebraic expression, terms are the elements separated by the plusor minus signs. This example has four terms, 3x^2, 2y, 7xy, and 5.Terms may consist of variables and coefficients, or constants. 在代數式中，"項"是基本元素，用加號或減號把各項分隔開。這個例子包含4項，3x^2,2y, 7xy, 與5。每一項可能包含變量，系數，或者常量。 Variables 變量 In algebraic expressions, letters represent variables. These letters are actually numbers in disguise. In this expression, the variables are x and y. We call these letters "variables" because the numbers they represent can vary—that is, we can substitute one or more numbers for the letters in the . 在代數式中，字母代表變量。這些字母實際上是偽裝的數字。在上述表達式中，變量是x和y。我們把這些字母稱為"變量"，是因為它們表示的數字能夠變化——那就是說，我們能把不同的數字代入表達式中的字母。 Coefficients 系數 Coefficients are the number part of the terms with variables. In 3x^2 + 2y + 7xy+ 5, the coefficient of the first term is 3. The coefficient of the second term is 2, and the coefficient of the third term is 7. 系數就是含變量項的數字部分。在表達式 3x^2 + 2y + 7xy + 5 中,第一項系數是3，第二項系數是2，第三項系數是7。 If a term consists of only variables, its coefficient is 1. 如果某項只包含變量，那么它的系數是1。 Constants 常數項 Constants are the terms in the algebraic expression that contain only numbers. That is, they're the terms without variables. We call them constants because their value never changes, since there are no variables in the term that can change its value. In the expression 7x^2 + 3xy + 8 the constant term is "8." 常數項是指代數式中只包含數字的項。那就是說，它們是不含變量的項。我們把它們稱為常數項，是因為它們的值保持不變，這又是因為常數項中沒有變量來改變它的值。在表達式7x2+ 3xy + 8中，常數項就是8。 Real Numbers 實數 In algebra,we work with the set of real numbers, which we can model using an umber line. 在代數中，我們處理的是實數集，它可用一條數軸來直觀表示。 Real numbers describe real-world quantities such as amounts, distances, age,temperature, and so on. A real number can be an integer, a fraction, or a decimal. They can also be either rational or irrational. Numbers that are not "real" are called imaginary.Imaginary numbers are used by mathematicians to describe numbers that cannot be found on the number line. They are a more complex subject than we will work with here. 實數描述現實世界的各種量，例如數量、距離、年齡、溫度等等。一個實數可能是一個整數、分數、或者小數。實數可能是有理數，也可能是無理數。不是實數的數是虛構的。虛數是數學家用來描述數軸上不存在的數，比我們這里要處理的實數復雜得多。 Rational Numbers 有理數 We call the set of real integers and fractions "rational numbers." Rational comes from the word "ratio" because a rational number can always be written as the ratio, or quotient, of two integers. 我們把整數和分數的集合稱為"有理數"。"有理數"這個詞來自"比率"，因為任何一個有理數總能表示為兩個整數的比率或商數。 Examples of rational numbers 有理數的實例 The fraction1/2 is the ratio of 1 to 2. 分數1/2表示1比2。 Since three can be expressed as three over one, or the ratio of 3 to one, it is also a rational number. 既然3能表達為1分之3，或者3比1，因此它也是有理數。 The number "0.57" is also a rational number, as it can be written as a fraction. 0.57=57/100 數字"0.57"也是有理數，因為它能寫成一個分數，即0.57=57/100 Irrational Numbers 無理數 Some real numbers can't be expressed as a quotient of two integers. We call these numbers "irrational numbers". The decimal form of an irrational number is a non-repeating and non-terminating decimal number. For example, you are probably familiar with the number called "pi". This irrational number is so important that we give it a name and a special symbol! 有些實數不能表示為兩個整數的商，我們稱之為"無理數"。一個無理數寫成小數形式是無限不循環的。例如，你可能對圓周率"Pi"這個數很熟悉，這個無理數如此重要，以至于我們給它命名，而且用一個特殊符號表示它。 Pi cannot be written as a quotient of two integers, and its decimal form goes on forever and never repeats. 圓周率Pi不能寫成兩個整數的商，它的小數形式是無限不循環的。 Pi=3.1415926.... Translating Words into Algebra Language 把文字翻譯成代數語言 Here are some statements in English. Just below each statement is its translation in algebra. 這里有一些英語陳述句。每個陳述句的下一行就是它對應的代數式。 the sum of three times a number and eight 一個數的3倍與8的和 3x + 8 The words "the sum of" tell us we need a plus sign because we're going to add three times a number to eight. The words "three times" tell us the first term is a number multiplied by three. "…的和"這幾個字，告訴我們需要要一個加號，因為我們將一個數的3倍加到8上。"…的3倍"這幾個字，告訴我們第一項是一個數乘以3。 In this expression, we don't need a multiplication sign or parenthesis.Phrases like "a number" or "the number" tell us our expression has an unknown quantity, called a variable. In algebra, we use lettersto represent variables. 這個表達式中，我們不需要乘號或括號。像"一個數"或"這個數"之類的短語，告訴我們表達式中含有一個未知量，稱之為變量。代數中，我們用字母來代表變量。 the product of a number and the same number less 3 一個數與同一個數減去3之后的乘積 x(x - 3) The words "the product of" tell us we're going to multiply a number times thenumber less 3. In this case, we'll use parentheses to represent the multiplication. The words "less 3" tell us to subtract three from the unknown number. "…的乘積"這幾個字，告訴我們將把一個數乘以同一個數減去3。這種情況下，我們將使用括號來表示乘法。"減去3"這幾個字，告訴我們將從一個未知數中減去3。 a number divided by the same number less five 一個數除以同一個數與5的差 x/(x-5) The words "divided by" tell us we're going to divide a number by the difference of the number and 5. In this case, we'll use a fraction to represent the division. The words "less 5" tell us we need aminus sign because we're going to subtract five. "除以…"這幾個字，告訴我們將用一個數除以同一個數與3的差。這種情況下，我們將用一個分式來表示除法。"減去5"這幾個字，告訴我們需要一個減號，因為我們將要減去5。 譯于2005年7月30日 1 × 8 + 1 = 912 × 8 + 2 = 98123 × 8 + 3 = 9871234 × 8 + 4 = 987612345 × 8 +5 = 98765123456 × 8 +6 = 9876541234567 × 8+ 7 = 987654312345678 × 8+ 8 = 98765432123456789 ×8 + 9 = 987654321 1 × 9 + 2 = 1112 × 9 + 3 = 111123 × 9 + 4 = 11111234 × 9 + 5 = 1111112345 × 9 + 6 = 111111123456 × 9 + 7 = 11111111234567 × 9 + 8 = 1111111112345678 × 9 + 9 = 111111111123456789 × 9 +10 = 1111111111 9 × 9 + 7 = 8898 × 9 + 6 = 888987 × 9 + 5 = 88889876 × 9 + 4 = 8888898765 × 9 + 3 = 888888987654 × 9 + 2 = 88888889876543 × 9 + 1 = 8888888898765432 × 9 + 0 = 888888888 1 × 1 = 111 × 11 = 121111 × 111 = 123211111 × 1111 = 123432111111 × 11111 = 123454321111111 × 111111 = 123456543211111111 × 1111111 = 123456765432111111111 × 11111111 = 123456787654321111111111 × 111111111 = 12345678987654321 得到一個多項式的步驟是：取一些“已知”數，這些數既可以是明確的數（17、√2、π等），也可以是代表數的字母（a、b、c、……p、q、r等）；將這些數與一些未知量（x、y、z等）混合，進行有限次加法、減法和乘法運算，結果就是一個多項式。 盡管多項式在數學表達式中只占很小的比例，但是它們非常重要，特別是在代數中更重要。當數學家使用形容詞“代數的”時，通?？梢员焕斫鉃椤瓣P于多項式的”。仔細檢查一下代數學中的某個定理，即使是抽象層次非常高的定理，經過層層分析其意義，我們很可能就會發現多項式。可以肯定地說，多項式是從古至今的代數學中最重要的概念。 1945年，諾伊格鮑爾和美國亞述學家亞伯拉罕·薩克斯（1915—1983）合作，出版了《楔形文字數學文獻》（Mathematical Cuneiform Texts）。這本著作現在仍是關于古巴比倫數學的英文權威著作。當然，這方面的研究仍在繼續，古巴比倫人的輝煌成就現在已經眾所周知。特別是，我們現在知道他們掌握了一些可以被稱為代數的技巧。 諾伊格鮑爾發現，漢謨拉比時代的數學文本有兩種：“表格文本”和“問題文本”。表格文本就是乘法表、平方表和立方表等表格，以及一些更高級的列表，比如現存于美國哥倫比亞大學的“普林頓322”泥板就列出了畢達哥拉斯三元組，即滿足a2+b2=c2的三元組(a,b,c)，根據畢達哥拉斯定理，這三個數對應于直角三角形的三條邊。 古巴比倫人迫切需要這樣的表格，因為雖然他們書寫數字的系統在當時很先進，卻不能像我們熟悉的10個數字那樣方便地進行計算。他們的數字體系是六十進制而不是十進制。例如，十進制數37表示3個10加上7個1，而古巴比倫人的37表示3個60加上7個1，相當于十進制數187。因為缺少用來“占位”的0，事情變得更加困難。因為今天的記法中有0，所以我們可以區分284、2804和208 004等。 分數的書寫方式就像我們表示小時、分鐘和秒那樣，這種方式其實是古巴比倫人的原創。例如2.5用這種表示就寫成2:30。古巴比倫人知道，在他們的體系下，2的平方根大約是1:24:51:10。這個數是1-[24-(51-10÷60)÷60]÷60，它與2的平方根的精確值相差約一千萬分之六。與整數一樣，缺少占位數字0會產生歧義。 即使在表格文本中，代數計算的思維也很明顯。比如，我們知道平方表可輔助進行乘法計算，公式 把乘法簡化為減法（和一個簡單的除法）。古巴比倫人知道這個公式，或者說他們知道其本質，只是不知道怎么用上面的辦法表示成抽象的公式。他們把這個公式看成一個可以運用于特定數字的步驟，即我們今天所說的算法。 詹姆士·紐曼（1907—1966）在《數學的世界》中寫道：“關于古埃及數學的水平在學習古代科學的學生中，存在著較大的不同認識?！边@些不同的觀點現在依然存在。然而，在閱讀了古巴比倫和古埃及的代表性文獻之后，我不明白為什么還有人主張，這兩個公元前1750年左右分別在新月沃地兩端繁榮起來的文明古國在數學發展水平上是相當的。盡管它們的數學都是算術風格，而且也沒有證據表明他們擁有任何抽象能力，但是古巴比倫的問題顯然比古埃及的問題更深刻、更精妙。（順便說一下，這也是諾伊格鮑爾的觀點。） 這些古代人僅使用最原始的數字書寫方法就取得了如此輝煌的成就，這真是了不起的事情。但也許更令人驚訝的是，在隨后的幾個世紀里，他們幾乎沒有取得新的數學進展。 丟番圖到底是不是代數之父，這正是律師所謂的“難以決定的問題”。一些非常受人尊敬的數學史學家都否認這一點。比如，在《科學傳記大辭典》中，庫爾特·沃格爾認為丟番圖的工作并不比古巴比倫人和阿基米德（公元前3世紀）的工作更代數化，并得出結論：“丟番圖肯定不是人們通常稱的代數之父?！狈兜峦郀柕前汛鷶档钠鹪聪蚝笸七t了一段時間，他認為數學家花拉子密（780—850）才是代數之父?；ɡ用鼙葋G番圖晚600年。此外，現在的本科生所學的被稱為“丟番圖分析”的數學分支通常作為數論課程的一部分，而不在代數課程里講授。 阿貝爾相當早慧。當他還是一個中學生的時候，就按照高斯（Carl Friedrich Gauss）對二項式方程的處理方法探討了高次方程的可解性問題。起初，他認為自己解一般的五次方程已獲成功，但很快就發現了自己的錯誤。進大學后，他繼續研究這一問題，終于在1824年撰寫了一篇題目為“論代數方程，證明一般五次方程不可解性”的論文，該論文嚴格地證明了一般五次方程不能像低次方程那樣用根式求解，從而解決了困惑數學家300年之久的一個難題，這時他年僅22歲。他自己出資印發了這篇論文。他在該論文的開頭寫道：“許多數學家全身心致力于尋求代數方程的一般解，只有幾位數學家試圖證明解的不可能性。然而，如果我沒弄錯的話，他們都還未成功。所以我才敢奢望數學家們善意地接受這篇論文?！卑⒇悹柕倪@篇論文促使數學家們進一步思考什么樣的特殊方程能用根式求解，最終推動了伽羅瓦群的發現和代數方程根式可解問題的徹底解決。法國數學家勒讓德說：“這項工作是阿貝爾的永恒紀念碑。”另外，阿貝爾在1823年還發表了其他一些論文，其中包括《用定積分解某些問題》。該論文首次給出了積分方程的解，從而為積分方程在19世紀末20世紀初的全面發展開辟了道路。 在柏林，他完成了關于橢圓函數的一篇開創性論文，之后就回到了挪威。他原希望回國后能被聘為大學教授，但希望又一次落空。于是阿貝爾只能靠給私人補課，或當代課教師謀生，生活極其困苦，用他自己的話來說“窮得就像教堂里的老鼠”。在這樣艱苦的條件下，他仍堅持科研工作，并寫了多篇關于橢圓函數的論文。阿貝爾和雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）是公認的橢圓函數論的奠基人，他發現了橢圓函數的加法定理、雙周期性，并引進了橢圓積分的反演，從而開創了橢圓函數這一數學分支。后來，阿貝爾的聲譽隨著他的研究成果逐漸傳到歐洲的所有數學中心，但他卻身處消息閉塞之地，毫無所知。更不幸的是，阿貝爾因肺病于1829年去世，終年不足27歲。死后的第三天，柏林大學給他的數學教授聘書才寄到挪威，這也是后世數學家無不為之深深惋惜的事情——“遲到的聘書”。當德國數學家雅可比看到阿貝爾《論一類廣泛的超越函數的一般性質》后，于1829年3月14日寫信給勒讓德質問：“阿貝爾先生的這個發現是什么樣的發現啊！……有誰看見過同樣的東西嗎？這個發現也許是我們這個世紀最偉大的發現，在兩年前就給你們科學院了，可你們的同事們怎么會沒有注意到呢？”挪威政府得知了這個質問，也讓其駐巴黎的領事就這份遺失的手稿提出了外交抗議。為此，柯西在1830年把它翻了出來，經過討論后，法國科學院于1830年決定授予阿貝爾數學大獎。然而，阿貝爾此時已經去世了。 阿貝爾的一生十分短促，卻在數學史上留下了光輝的篇章。數學中以他的姓氏命名的概念和定理有：阿貝爾群、阿貝爾變換、阿貝爾求和法、阿貝爾函數、阿貝爾范疇、阿貝爾擴張、阿貝爾定理、阿貝爾遍歷定理、阿貝爾連續性定理、阿貝爾方程、阿貝爾積分方程、阿貝爾微分、阿貝爾積分、阿貝爾射影算子、阿貝爾問題……著名數學家埃爾米特（Charles Hermite）曾說：“阿貝爾留下來的問題，夠數學家忙150年?！笨死桌赵谒骶幍摹都兇馀c應用數學學報》里寫道：“阿貝爾在他的所有著作里都打下了天才的烙印，表現出了不起的思維能力。我們可以說他具有能夠穿透一切障礙深入問題的根底，具有似乎是無堅不摧的氣勢……他又以品格純樸高尚以及罕見的謙遜精神出眾，使他的人品也像他的天才那樣受到不同尋常的愛戴?！钡聡麛祵W家魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）說：“阿貝爾做出了永恒、不朽的東西！他的思想將永遠給我們的科學以豐饒的影響?！?lt;/span> 正負號規則：負負得正 對許多人來說，這是算術中一個主要的疑問點?！坝靡粋€負數乘以一個負數是什么意思？”他們問道。我見過的最好的解釋是加德納（Martin Gardner）作出的，具體如下。設想一個很大的禮堂里坐滿了兩種人，好人和壞人。我定義“加法”的意思是“把人送進禮堂”。我定義“減法”的意思是“把人叫出禮堂”。我定義“正數”的意思是“好”（“好人”），而“負數”的意思是“壞”。加一個正數意味著送一些好人進禮堂，顯然這增加了那里的善良人數的凈值。加一個負數意味著送一些壞人進去，這減少了善良人數的凈值。減一個正數意味著叫出一些好人——禮堂中善良人數的凈值減少了。減一個負數意味著叫出一些壞人——善良人數的凈值增加了。這樣，加一個負數恰似減一個正數，而減一個負數就像加一個正數。乘法就是重復的加法。負三乘負五？叫出五個壞人。這樣做三次。結果呢？善良人數的凈值增加了15……。 諸如此類，含有多個未知量并且可能出現無窮多組解（解的數量取決于所求的解的類型）的方程被稱為不定方程。 最著名的不定方程是費馬大定理（即費馬最后定理）中出現的x^n+y^n=z^n，其中x、y、z和n都是正整數。當n=1或n=2時，這個方程有無窮多組解。費馬大定理稱當n是大于2的正整數時，該方程沒有正整數解。 1637年左右，皮埃爾·德·費馬（1607—1665）在閱讀丟番圖的《算術》（拉丁文譯本）時突然想到了這個定理，于是他在該書的頁邊空白處留下了著名的注記，陳述了這個命題，然后（也是用拉丁文）補充道：“對此我已經發現了一個完美的證明，可是這里的空白太小，寫不下?！睂嶋H上直到357年之后，這個定理才被安德魯·懷爾斯（1953— ）證明。 那么，丟番圖是代數之父嗎？我之所以愿意給他這樣的榮譽稱號，正是因為他的字母符號體系——用特殊的字母符號表示未知量、未知量的冪、減法和相等。當我第一次看到丟番圖用自己的符號寫出的方程時，我的第一反應可能和你一樣：“他說的是啥？”不過，在看過他的一些問題之后，我很快就熟悉了他的字母符號體系，甚至能夠不假思索地快速閱讀丟番圖的方程。 最終，我領悟到丟番圖創造出的字母符號體系非常先進。我確實認同沃格爾所說的《算術》中缺少一般方法的觀點，我也愿意承認丟番圖在選題上缺乏原創性。也許他并不是第一個使用特殊符號表示未知量的人。 然而，由于歷史的命運，最早把如此廣泛、全面、富有想象力的問題集傳給我們的是丟番圖。遺憾的是，我們不知道誰是第一個使用符號表示未知量的人，但既然丟番圖這么早就能如此熟練地使用符號來表示未知量，我們應該為此向他致敬。也許某一個我們不知道并且永遠不會知道的人才是真正的代數之父。但是既然這個頭銜空缺，我們不妨把它送給一個我們知道的最有資格的古代人，他的名字就是丟番圖。 希帕提婭是數學史上第一位女性數學家。她的所有著作都丟失了，我們只能通過傳說來了解她。從這點來說，我們很難判斷她是否是一位重要的數學家。但無論如何，她肯定是一位重要的學者。她在繆斯神廟授課（她的父親塞昂是神廟的最后一任館長），既是教材的編者、編輯，也是教材的保存者，其中就有數學教材。她教授新柏拉圖主義哲學，也是該學派的擁護者。這種哲學試圖確立在后羅馬時代非常缺乏的秩序、正義和和平。據說她非常美麗，而且終生未婚。 希帕提婭在教學和學術研究方面非常活躍。當時亞歷山大城的教長是西里爾，后來被稱為圣西里爾，由于時代久遠而且神學爭論非常復雜，我們很難斷定他到底是一個什么樣的人。正如我們從《天主教百科全書》中了解到的那樣，當時的亞歷山大城總是處于“暴亂”之中。總之，西里爾卷入了與駐埃及的羅馬行政長官奧列斯特之間的一場教會與國家的爭端當中，有人散布謠言說希帕提婭是和解的主要障礙。一群暴徒被煽動起來（也許是自行發起暴動），他們把希帕提婭拖下車，穿過街道拖進教堂，據文獻記載及其譯文描述，她被用貝殼或者陶瓷碎片凌遲處死。 希帕提婭似乎是最后一個在繆斯神殿授課的人，人們認為她在415年的駭人聽聞的死亡標志著古代歐洲數學的終結。之后，西羅馬帝國勉強支撐了60年，亞歷山大城在東羅馬帝國（拜占庭帝國）各代皇帝的統治下又延續了164年（其間被波斯短暫占領，時間為616 ～ 629年），但其學術生機已經蕩然無存。代數學歷史的長河中的下一位著名人物的家鄉在亞歷山大城以東900英里的底格里斯河沿岸，又回到了美索不達米亞平原，2500年前，那里正是一切故事的開端。 英文的“代數”一詞“algebra”取自一本書的書名，那本書就是在820年左右阿拔斯王朝的巴格達寫成的，作者的名字是穆罕默德·本·穆薩·阿爾·花剌子模（Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al - Khwarizmi）。我將像大家一樣稱他為花拉子密。 巴格達曾經是一個偉大的文化中心（約786 ～ 833年），現代西方人只模糊地知道這里是《一千零一夜》故事中所描繪的有元老、奴隸、商隊和遠行商人的世界。阿拉伯人自己認為那時的巴格達正處于黃金時代，盡管事實上阿拔斯王朝已經不具備強大的軍事力量來維持當初贏占的領土，而且正在因北非和高加索等地區的叛亂而進一步失去領土。 波斯是阿拔斯王朝領土的一部分，信仰和世俗權力兩方面都受到統治者的控制。然而，從1400年前的米底王國開始，波斯就已經有了高度文明，而公元800年的阿拉伯人與他們在沙漠居住的祖先只隔了六代。因此，在某種程度上，阿拔斯人對波斯人懷有某種文化上的自卑情結，就像古羅馬人對古希臘人一樣。 除了波斯人之外，還有古印度人。公元4世紀和5世紀，古印度北部統一在笈多王朝之下，但此后又漸漸分成小國，這種情況一直持續到土耳其列強在10世紀末的入侵。中世紀的印度文明對數特別著迷，尤其是一些非常大的數，他們還特意給這些數起了名字（你也許曾經看到過梵文術語“tallakchana”，它代表10^53 ）。數字0的發現——這個不朽的榮耀——屬于古印度人，也許歸功于數學家婆羅摩笈多（598—670），而我們所說的阿拉伯數字實際上也起源于古印度。 除了古印度人之外，當然還有中國人。至少從7世紀中葉開始，中國佛教高僧唐玄奘西行，印度由此開始與中國保持文化往來，波斯經由絲綢之路與中國進行頻繁的貿易往來。中國很早就有了自己的數學文化。 因此，有閑情逸致的巴格達人熟悉當時文明世界中發生的任何事情。他們通過亞歷山大城以及他們與拜占庭帝國之間的貿易往來了解到古希臘文化和古羅馬文化，他們也能夠容易地接觸到波斯、古印度和古代中國的文化。 要使阿拔斯王朝的巴格達成為一個理想的保存豐富知識的中心，所需要的就是一所學院，一個能夠查閱書面文獻、舉辦演講和學術會議的地方。不久，這樣的學院就出現了，人們稱它為智慧宮（Dar al-Hikma）。這所學院最鼎盛的時期是阿拔斯王朝第七任統治者馬蒙統治的時期。用亨利·羅林森爵士的話說，馬蒙統治時期的巴格達“在文學、藝術和科學等領域同科爾多瓦一樣達到世界最高水平，而在商業和財富方面則遠遠超過了科爾多瓦”。這就是花拉子密生活和工作的時期。 我們對花拉子密的生平了解得很少，對他的生卒年份（約783—850）也只知大概。在阿拉伯歷史學家和目錄學家的著作中，關于花拉子密有一些枯燥的零碎記錄，如果你想對他了解得更詳細，我建議你參考《科學傳記大辭典》。我們只知道花拉子密編寫了幾部著作：一部是關于天文學的，一部是關于地理學的，一部是關于猶太歷法的，一部是關于古印度數字體系的，還有一部是編年史。 這部關于古印度數字體系的著作只有拉丁文譯本保存了下來，它的卷首語是“根據花拉子密……”（Dixit Algorithmi...）。這部著作敘述了現代十進制算術體系的計算法則，這些法則是古印度人發明的，它的影響非常深遠。因為這段卷首語，掌握了這種“新算術”（相對于舊羅馬數字體系，后者對運算毫無幫助）的中世紀歐洲學者稱自己為“算術家”（algorithmists）。很久之后，人們用“算法”（algorithm）這個詞來表示經過有限次確定步驟后可以完成的計算過程。這是現代數學家和計算機科學家使用的含義。 真正吸引我們的是一本名為《還原與對消計算概要》的書。這是一本代數和算術教材，是600年前丟番圖的《算術》之后在這個領域中第一部意義重大的著作。此書分為三部分，分別關于二次方程的解法、面積和體積的測量以及處理復雜的繼承法所需要的數學。 嚴格地說，這三部分中只有第一部分屬于代數，這有些令人失望。而且花拉子密沒有字母符號體系，因此他既沒有用字母和數表示方程的方法，也沒有表示未知量和未知量的冪的符號。對于我們寫成如下形式的方程： 而它在花拉子密的書中的形式如下： 一個平方與10個該平方的根之和等于39迪拉姆，也就是說，當一個平方加上它的根的10倍后總和等于39時，這個平方是什么？ （迪拉姆是一種貨幣單位。花拉子密用它表示我們現在所說的常數項。） 另外，在花拉子密的著作中，我們沒有看到丟番圖從幾何方法向符號運算的歷史性轉變。這并不奇怪，因為花拉子密沒有要處理的符號，但這與600年前丟番圖取得的偉大突破相比稍有一些倒退。范德瓦爾登說：“我們可以排除花拉子密的工作深受古希臘數學影響的可能性?！?lt;/span> 事實上，花拉子密的主要代數成就是提出了把方程作為研究對象的想法，他將所有包含一個未知量的一次方程和二次方程分類，并給出操作它們的法則。他把這些方程分成6種基本類型，用現代字母符號體系把它們寫出來就是： 其中某些方程在我們看來顯然屬于同一類型，那是因為我們有負數的概念，而花拉子密沒有這樣的知識。當然他可能會提到減法，提到一個量比另一個量多，或者一個量比另一個量少，但是，他的自然的算術意識是用正數來看待一切。 至于操作技巧，就是引入了“還原”（al-jabr）和“對消”（al-muqabala）。一旦碰到類似x^2=40x-4x^2的方程（或者如花拉子密所說：“一個平方比四十個該平方的根少四個平方?！保闳绾伟堰@個方程轉化成6種基本方程類型中的一種呢？將這個方程的兩邊加上4x^2，“還原”這個方程，就得到第一種類型的方程：5x^2=40x 這就是在方程兩邊加上相等的項。相反的做法是將方程兩邊減去相等的項，即“對消”。例如，在方程兩邊同時減去29可以把方程50+x^2= 29+10x轉化成第五種類型21+x^2=10x。 這些操作方法都不是新的。事實上，還原和對消的方法在丟番圖的書中就出現過，當然，丟番圖的書中有豐富的字母符號體系來幫助處理方程問題。圖默在《科學傳記大辭典》中說：“花拉子密的科學成就其實很普通，但是其影響是巨大的?！?lt;/span> 事實上，我擔心此刻的讀者會產生這樣的想法：這些古代和中世紀的代數學家“不是很聰明”。公元前1800年的古巴比倫人就已經在求解寫成文字問題的二次方程，而2600年之后的花拉子密仍在求解寫成文字問題的二次方程。 我承認這的確有點兒令人失望。然而，從某種程度上說這也是令人振奮的。形成符號代數的進展極其緩慢，說明這個課題處于非常高級的層次。借用約翰遜博士的比喻，其奇妙之處不在于人們花了如此長的時間才學會做這些事情，而在于人們能做到這些事情。 事實上，代數學的發展到了中世紀中期才開始出現一點起色。在花拉子密之后，阿拉伯地區涌現了許多著名的數學家。塔比·伊本·庫拉（836—901）就是花拉子密的后一代人，他也生活在巴格達，在天文數學和數論方面做出了杰出的工作。一個半世紀之后，西班牙的科爾多瓦的穆罕默德·賈揚尼（989—1079）寫了第一篇關于球面三角學的論文。然而，他們都沒有在代數學上取得重大進展。特別是，沒有人嘗試去重復丟番圖在字母符號體系領域的偉大突破，所有人都在使用文字表述他們的問題。 下面，我將詳細介紹另一位中世紀的數學家，不僅因為他值得介紹，而且他還是通往文藝復興初期歐洲的橋梁，代數學的發展直到文藝復興時期才真正開始好轉。 ※※※ 奧馬·海亞姆（約1048—1131）作為《魯拜集》的作者聞名于西方。這是一本四行詩詩集，展示了極具個性的人生觀，內容多是感慨生命無常，應及時行樂、縱酒放歌，其風格在某種程度上與英國詩人豪斯曼（1859—1936）的作品類似。愛德華·菲茨杰拉德（1809—1883）把其中的75首詩翻譯成英語四行詩，每一首詩的押韻方式都是“a-a-b-a”。菲茨杰拉德翻譯的海亞姆的《魯拜集》于1859年出版，在第一次世界大戰前的英語國家里非常受歡迎。（一本用華美珠寶裝飾的《魯拜集》原版復本同泰坦尼克號一起沉入了大海。） 《科學傳記大辭典》認為海亞姆生活的年代最有可能是1048～1131年。因為沒有更準確的日期，所以我只好同意這種觀點。這樣的話，海亞姆至少比花拉子密晚250年。在考察中世紀的智力活動時，我們一定要牢記這些巨大的時間跨度。 海亞姆生活和工作的地方位于第一次大征服的最東邊。這一地區包括美索不達米亞、現在的伊朗北部和中亞的南部（今天的土庫曼斯坦、烏茲別克斯坦、塔吉克斯坦和阿富汗）。在海亞姆的時代，這里既有民族沖突也有宗教沖突，涉及的主要民族有波斯人、阿拉伯人和土耳其人。 在1037年，也就是在海亞姆出生的幾年前，一位名叫塞爾柱的伽色尼土耳其雇傭兵造反并打敗了伽色尼軍隊。這個新建立的土耳其政權迅速擴張。1055年，當時海亞姆7歲，塞爾柱的孫子接管巴格達，并自封為蘇丹，意思就是“統治者”。 ※※※ 因此，海亞姆的一生都在塞爾柱土耳其的統治之下度過，他的重要贊助人是塞爾柱帝國的第三位蘇丹馬立克沙（1055—1092）。馬立克沙的統治時期是1073～1092年，首都是今天伊朗境內的伊斯法罕市，位于伊拉克巴格達以東約700千米。馬立克沙沒有他的維齊爾（相當于宰相）尼扎姆·穆勒克（1018—1092）有名，穆勒克是歷史上有名的治國之才，也是一位外交天才，他同海亞姆一樣，是波斯人。馬立克沙、穆勒克經常與哈桑·薩巴赫（1050—1124）并稱為當時的“波斯三巨頭”，是塞爾柱帝國的三名重要人物。 在宗教方面，馬立克沙宮廷似乎很有包容心，這就是中世紀的大致情況。這也許非常適合海亞姆。他的詩表現出一種懷疑論和不可知論的人生態度，與他同時代的人通常認為他是一名自由思想家。作為伊斯法罕大天文臺的臺長，海亞姆主要忙于研究和學習，盡量不參與麻煩的事情，只是按要求編寫正統宗教手冊或履行每個信徒的義務。我們可以從現存的這些詩和傳記看出，海亞姆給現代讀者留下了非常深刻的印象。 作為代數學家，他的主要成果是他在二十多歲時去伊斯法罕之前寫的一本書，書名是《還原與對消問題的論證》。 同花拉子密和中世紀的其他阿拉伯數學家們一樣，海亞姆忽視了或者不知道丟番圖在字母符號體系方面的偉大突破，而是用文字闡述每一個問題。另外，他也像古希臘人一樣使用了強大的幾何方法，在求解數值問題時很自然地轉向幾何方法。 海亞姆對代數學發展的主要貢獻在于他首先開始嚴肅地研究三次方程。由于缺少適當的字母符號體系，而且海亞姆很明顯不愿意接納負數，因此他的研究顯得很費力。比如，我們書寫的方程x^3+ax=b，海亞姆將其表述為“一個立方加上若干邊等于一個數”。不過他仍然提出并解決了幾個涉及三次方程的問題，只是他的解法都是幾何方法。 這并不是三次方程在歷史上第一次出現。我們已經看到，丟番圖解決過一些三次方程；甚至在丟番圖之前，阿基米德在考慮如何把一個球分成兩部分，使得它們的體積之比是給定的比例等類似問題時，也遇到了三次方程。（你如果稍微想一想，就會想到這與阿基米德對浮體的興趣有關。）海亞姆似乎是第一個把三次方程分成不同類型的人，他把三次方程分成14種類型，他知道如何使用幾何方法處理其中的4種類型。 下面是海亞姆考慮的一個三次方程的例子：畫一個直角三角形。從直角所在的頂點作斜邊上的垂線段。如果這條垂線段的長度加上這個直角三角形最短邊的長度等于斜邊的長度，你能知道這個直角三角形的形狀嗎？ 答案是這個三角形的最短直角邊與另一條直角邊的比必須滿足下面的三次方程2x^3-2x^2+2x-1=0 這個比值完全決定了這個直角三角形的形狀。 這個方程唯一的實數解是0.647 798 871...，這個無理數非常接近有理數103/159。所以，直角邊是103和159的直角三角形非常接近這個問題的答案，讀者可以輕松驗證。海亞姆采用了一種間接的方法，求解一個略微不同的三次方程，利用兩條經典的幾何曲線的交點給出了這個方程的數值解。 @@@@ 古巴比倫人發明了一些技術，用來求解包含一個未知量的某些線性方程和二次方程。 后來，古希臘人用幾何方法解決了類似的方程。 在公元3世紀，丟番圖將研究范圍擴大到很多其他類型的方程，包括高次方程、多變量方程以及同類方程的方程組。針對代數問題，他發展了第一個字母符號體系。 中世紀阿拉伯學者發明了“代數”這個詞語。他們開始把方程作為有價值的研究對象，同時根據已有技術求解方程的難易程度，對線性方程、二次方程和三次方程進行了分類。