找規律填數字

蛇王天成

. 序 在數學的奇妙世界里，數字找規律題一直備受青睞。不管它是不是歷屆高考試題，不管我們是青少年，還是中年，甚至步入老年，通過數字序列發現隱含規律，不僅考驗我們的邏輯思維，還能提升觀察與分析能力和歸納與演繹能力。有人評論說：“這種題目，給我一天時間，我能總結出一條規律：我不會。”也有人評論現：“找規律題其實很有意思，小時候多做做，可以鍛煉思維能力，就像玩游戲一樣，掌握規律和技巧就不難啦！” 祝大家從不會，變會，變精！ 本文題目絕大部分取自網絡，例題的解答大都由筆者給出。在數學推導中可能留下錯誤之處，敬請讀者批評指正。對本文中幾位解題視頻的作者深表感謝！ ?? 筆者 基礎數字規律題型? 在思考規律數字序列時，首先注意是否是遞增或遞減模式，再注意波動模式。 1. 單規律序列(奇數位和偶數位有相同規律) (1)單純規律： 自然數 (正整數) 序列 奇數序列 偶數序列 素數(質數) 序列?(2) 加減規律??： 等差數列 (每一項都是前項+公差)?(3) 乘除規律??： 等比數列 (每一項都是前項×公比)?(4) 復合運算規律??： 線性運算 每一項都是前項×a+b (a，b為固定自然數)? 內積運算 ?2. 雙重規律序列??(奇數位是一種規律子序列，而偶數位有另一種規律子序列) 3. 位置規律序列(序列規律與每項的序號相關) (1) 位置序號運算規律： 平方加 1 (每項都是其位置序號的平方加1)(2) 鄰位單種運算規律： (每項都是前項的同種運算結果) 本文稱此規律為接力算法， 稱其運算為接力棒。(3) 鄰位復合運算規律： (每項都是前兩項的不同種運算結果) 本文稱此規律為雙節循環法 例 4，12，9，27，24， ( ? )，( ? ) 循環節為 ( 奇數項×a＝下一偶數項， 偶數項–b＝下一奇數項) 其中 a，b 為固定自然數(4) 鄰位相加規律： 斐波那契數列 (每項都是前兩項之和)?(5) 跳位相加規律?： 隔項相加 (每項都是前一項與前三項之和) 例 1，3，5，6，9，14， ( ? )，29 段落? 序 基礎數字規律題型 一，因子算法 二，接力算法 三，雙循環法 四，增量比較法 五，內積算法 六，預處理法 七，斐波那契數列算法 八，加后繼算法 九，隔項相加算法 十，對對掽算法 十一，看圖寫規律填空 十二，動腦找規律20題 一，因子算法? 【例A】 6，9，15，21，33，( ? )素數序列因子方法：【規律】觀察括號前各項，它是只首項為偶數的3的倍數遞增序列： 3× 素數序列【解】根據這個規律計算得 3×2＝6 3×3＝9 3×5＝15 3×7＝21 3×11＝33 3×13＝39答案：39 ?【例B】 6，9，15，( ? )，33，39素數序列因子方法：【規律】觀察括號前后各項，只首項為偶數的遞增序列，聯想首個素數是2，也是偶數，因此題目中序列與素數序列有關，可以驗證為 3× 素數序列【解】根據這個規律計算得 3×2＝6 3×3＝9 3×5＝15 3×7＝21 3×11＝33 3×13＝39答案：21 【例C】 10，15，25，( ? )，55素數序列因子方法：【規律】觀察括號前各項，它是一個5倍素數遞增序列： 5 × 素數序列【解】根據這個規律計算得 5×2=10 5×3=15 5×5=25 5×7=35 5×11=55答案：35 二，接力算法? 【例A】 3，8，15，( ? )，35加法5始素數接力法：【規律】相鄰兩數之差構成一個5始奇數序列請看，8–3＝5，15–8＝7， 35–15＝20＝9+11， 5，7，9，11 為一個5始奇數序列(稱為接力棒)【解】根據這個規律計算得從3起，依次將該得數加上5始奇數序列中的一個數得到下一個數，稱為“接力”，依次類推… 3+5＝8 8+7=15 15+9=24 24+11=35答案：24 【例B】 20，22，25，30，37，( ? )加法素數接力算法：【規律】觀察括號前各項，它是增量為素數序列的遞增數列：從20起，依次將該得數加上素數序列的相應素數【解】根據這個規律計算得 20+2=22 22+3=25 25+5=30 30+7=37 37+11=48答案：48 【例C】 5，8，14，23，( ? ) ，( ? ) 加法3倍自然數接力算法：【規律】后項減去前項之差構成3，6，9，12，…，即3倍自然數數序列【解】根據這個規律計算得 5+3×1=8 8+3×2=14 14+3×3=23 23+3×4=35 35+3×5=50答案：35，50 【例D】 2，3，5，8，12，( ? ) 加法遞增自然數接力方法：【規律】顯然，括號前面各數不構成斐波那契數列。從2起，依次將該得數 + 1始自然數序列【解】根據這個規律計算得 2+1=3 3+2=5 5+3=8 8+4=12 12+5=17答案：17 【例E】 1， 3，6， 10， 15，( ? )加法2始自然數接力方法：【規律】從1起，依次將該得數 + 2始自然數序列【解】根據這個規律計算得 1+2=3 3+3=6 6+4=10 10+5=15 15+6=21答案：21 【例F】 12，17，( ? )，30，38加法5始自然數接力方法：【規律】從12起，依次將該得數 + 5始自然數序列【解】根據這個規律計算得 12+5=17 17+6=23 23+7=30 30+8=38答案：23 【例G】 8，16，22，26，( ? )加法遞降偶數接力方法：【規律】顯然，括號前面各數為偶數遞增序列。從第一項(8)起，依次將該得數 + 8始遞減偶數序列【解】根據這個規律計算得 8+8=16 16+6=22 22+4=26 26+2=28答案：28 【例H】 2，5，11，23，47，( ? )加法3倍自然數2的冪接力方法：【規律】從2起，依次將該該得數 + 3× 自然數2的冪【解】根據這個規律計算得 2+3×1=5 5+3×2=11 11+3×4=23 23+3×8=47 47+3×16=95答案：95 【例I】 9，( ? )，16，21，27加法3始自然數接力方法：【規律】從9起，依次將該得數 + 3始自然數序列 【解】根據這個規律計算得 9+3=12 12+4=16 16+5=21 21+6=27答案：12 【例J】 15，( ? )，24，36，60加法2冪接力方法【規律】觀察各項，它是一個只首項為奇數的遞增序列，第三項與第一項之差為 24–15＝9，為確保第二項為偶數，又不能是15的2倍或15+9＝24，只能是 15+3=18，于是得算法： 從15起，依次將該得數 + 3×自然數 2的冪【解】根據這個規律計算得 15+3=18 18+3×2=24 24+3×2×2=36 36+3×2×2×2=60答案：18 ? 三，雙節循環法? 【例A】 2，6，8，16，( ? ) ，( ? ) 雙節循環法：【規律】從第三項(8)起，每一項是前面各項之和【解】根據這個規律計算得 2+6=8 2+6+8=16 2+6+8+16=32 2+6+8+16+32=64答案：32，64 【例B】 3，6，5，10，9，( ? )，( ? )雙節循環方法：【規律】觀察括號前5項，奇偶相間，它是一個雙節循環，循環節為 ( 奇數項×2＝下一偶數項， 偶數項–1＝下一奇數項) 偶數項是前面奇數項的2倍， 從第三項起，奇數項是前項 –1? 依此類推…【解】根據這個規律計算得第6項是第5項(9)的2倍 2×9=18第7項是第6項(18) –1 18–1＝17答案：18，17 【例C】 5，10，9，18，17，( ? )，( ? )雙節循環法：【規律】同例B【解】根據這個規律計算得第6項是第5項(17) 的2倍 2×17=34第7項是第6項(34) –1 34–1＝33答案：34，33 【例D】 4，12，9，27，24，( ? )，( ? )雙節循環方法：【規律】觀察括號前5項，分成兩兩一組，它是一個雙節循環，循環節為 ( 奇數項×3＝下一偶數項， 偶數項–3＝下一奇數項) ( 偶數項×3，奇數項–3 )的序列，其算法為 從4起，依次將該得數 ×3， 再將該得數 –3，依次類推…【解】根據這個規律計算得 4×3=12 12–3＝9 9×3=27 27–3＝24 24×3=72 72–3＝69答案：72，69 四，增量比較法? 【例A】 3，6，10，16，25，( ? )二階增量等差數列法：【規律】觀察括號前相鄰三項中，后兩項之差比前兩項之差大1： 6–3＝3，10–6＝4， 16–10＝6，25–16＝9再看增量之差 (稱為二階增量) 4–3＝1，6–4＝2，9–6＝3為一個等差級數，其公差為1。【解】根據這個規律計算得 25+9+4=38答案：38 參看下面視頻 ? 【例B】 5，8，17，24，37，( ? )增量序列的間隔增量方法：【規律】觀察括號前相鄰三項中，后兩項之差比前兩項之差大1： 8–5＝3，17–8＝9， 24–17＝7，37–24＝13再看間隔增量之差： 7–3＝4，13–9＝4，…為一個常數 4。如下圖所示 ? 【解】根據這個規律計算得 7+4=11，37+11=48答案：48?參看下面視頻 ? ?【例C】 15，( ? )，24，36，60增量等比級數解方程法：【規律】觀察括號后三項，后兩數之差是前兩數之差的2倍。 36–24＝12，60–36＝24相鄰兩項之差為一個等比級數，其公比為2。【解】根據這個規律，記第二項數為X，前三項應滿足下面等式： 24–X＝2×(X–15)，解方程得 3×X＝54， X＝18答案：18驗算：18–15＝3，24–18＝6，公比為2。 【例D】 5，9，16，( ? )，39 增量等差級數解方程法：【規律】相鄰兩項之差構成一個等差數列，其公比為3， 9-5=4，16-9=7，7-4=3，【解】 X–16＝39–3–X，解得 X＝(36+16)/2=26五個數彼此之差依次是4，7，10，13，為等差級數，其公差為3。答案：26驗算：5+4=9，9+7=16，16+10=26，26+13=39 五，內積算法 ?【定義】設兩個矢量(向量)a 和b， a = (a?, a?, ..., a?)， b = (b?, b?, ..., b?)，則稱 a·b = ∑(a?×b?)為矢量 a和b 的內積。 【例A】 4，9，20，35，66，( ? )含素數序列內積算法：【規律】觀察前兩項，是平方數，后兩項卻不是，換做因子分解，得 4＝2×2，9＝3×3，20＝4×5， 35＝5×7，66＝6×11(前后二因子分別為 2，3，4，5，6；2，3，5，7，11 )一般可表成 (2始自然數序列) ? 素數序列【解】根據這個規律計算得 7×13=91答案：91 【例B】 4，9，20，35，( ? )含素數序列內積算法：【規律】把各項因子分解得 2×2=4 3×3=9 4×5=20 5×7=35 ( )×( )=?因子為一列是自然數序列，另一列是素數序列。一般可表成 (2始自然數序列) ? 素數序列【解】根據這個規律計算得 上面兩括號中可分別填入6 和 11。答案：6×11=66 參看下面視頻 ? 【例C】 3，8，15，( ? )，35錯位自然數序列內積算法：【規律】把各項因子分解得 1×3=3 2×4=8 3×5=15 ( )×( )=24 5×7=35因子看似兩列自然數序列，一般可表成 (1始自然數序列) ? (3始自然數序列)【解】根據這個規律計算得 上面兩括號中可分別填入4 和 6。答案：4×6＝24 六，預處理法?預先把各項加上或減去一個固定的自然數，然后，再用可行的辦法對其結果尋找規律。 【例A】 3，8，19，34，( ? ) 內積減一算法：【規律】把每一項加1后作因子分解： 3+1=2×2， 8+1=3×3， 19+1=4×5，34+1=5×7滿足 2×2–1＝3 3×3–1＝8 4×5–1＝19 5×7–1＝34一般可表成 (2始自然數序列) ? 素數序列 – 1【解】根據這個規律計算得第5項(即括號內) ＝6×11–1＝65答案：65 參看下面視頻 ? 【例B】 5，8，14，23，38，( ? ) 鄰項和加一算法：【規律】從第三項(14)起， 5+8+1=14， 8+14+1=23， 14+23+1=38一般可表成 每一項是前兩項之和 + 1【解】根據這個規律計算得 23+38+1=62答案：62 【例C】 7，10，16，22，( ? )乘積加一算法：【規律】各項減1后都有因子3，另一因子為素數。 3×2+1=7 3x3+1=10 3×5+1=16 3×7+1=22一般可表成 3×素數序列 +1【解】根據這個規律計算得 3×11+1=34答案：34 【例D】 14，23，34，47，( ? )內積減一方法：【規律】觀察括號前各項 14+1＝3×5，23+1＝4×6， 34+1= 5×7，47+1= 6×8括號前各項一般可表成 (3始自然數序列) ? (5始自然數序列) – 1【解】根據這個規律計算得 7×9–1＝62答案：62 七，斐波那契數列算法?【定義】自然數迭代公式： F(n+2)＝F(n)+F(n+1)， n＝0，1，2…當取初始值為 F(0)＝0，F(1)＝1 時，得到的數列 0，1，1，2，3，5，8，13，…稱為斐波那契數列。?當取初始值為F(0)＝a，F(1)＝b，其中a 和b 為兩個自然數，a＜b 時，得到的數列 a，b，a+b，a+2b，2a+3b，…， (k–1) a+kb，…稱為廣義斐波那契數列。 【例A】 6，8，14，22，( ? )，58廣義斐波那契數列法：【規律】觀察前四項， 6+8=14，8+14=22，相鄰兩數之和為下一個數，依次類推…一般可得廣義斐波那契數列。【解】根據這個規律計算得 14+22=36，22+36=58答案：36 【例B】 10，15，25，40，65， ( ? )，170 因子斐波那契數列法【規律】觀察各項，都有因子5，作因子分解得 5×2=10，5×3=15，5×5=25 5×8=40，5×13=65而另一因子構成斐波那契數列，于是得到算法公式： 5× ( 2始斐波那契序列)【解】根據這個規律計算可得 5×21=105，5×34=170答案：105 八，加后繼算法?【定義】對于任意給定的自然數n，其后繼是指比n大1 的那個自然數。 【例A】 1，3，7，15，( ? )加后繼算法：【規律】觀察前四項可知， 1+2=3，3+4=7，7+8=15，得到算法公式 每一項都等于前項 + 其后繼【解】根據這一規律計算可得 15+16=31答案：31 九，隔項相加算法? 【例A】 2，3，5，7，10，15，( ? )，32隔項求和法：【規律】觀察各項，考慮隔項相加，得 2+5=7，3+7=10，5+10=15 【解】 7+15=22，10+22=32答案：22 十，對對比對法? 【例A】 2，3，6，7，10，11，14，15， ( ? )， ( ? )，23，( ? )對對比對法：【規律】觀察各項，從首項起，將序列兩兩一對分割成對對序列： (2，3)，(6，7)，(10，11)， (14，15)前項序列 2，6，10，14，是等差數列，公差為4；后項是前項的后繼(即前項+1)。【解】根據這個規律計算得，從左到右記括號內的數字依次為X，Y，Z，于是 X＝14+4＝18， Y＝18+1＝19 (18的后繼)， 19+4=23 (已知)， Z＝23+1=24答案：18，19，24 十一，看圖寫規律填空 【習題1】 【習題2】 【習題3】 【習題4】 【習題5】二階增量 十二，動腦找規律20題? 【習題1】1，3，7，15，( ? )【習題2】1，2，4，8，( ? )【習題3】2，6，18，( ? )【習題4】2，6，14，30，( ? )【習題5】9，( ? )，16，21，27【習題6】11，22，35，47，( ? )【習題7】3，( ? )，15，24，35【習題8】2，6，14，(?)，62 【習題9】2，6，14，30，62，( ? )【習題10】2，3，4，( ? )，8，10【習題11】8，16，22，26，(?) 【習題12】9，( ? )，16，21，27 ?【習題13】3，5，8，15，( ? )【習題14】3，8，15，( ? )，35【習題15】15，( ? )，24，36，60【習題16】15，24，36，( ? )【習題17】12，23，34，47，( ? )【習題18】10，15，25，35，( ? )【習題19】2，6，8，16，( ? ) 【習題20】3，6，( ? )，54，162 【討論題】 找規律填數字動腦題 15，21，33，39，51，57， ( ? )，( ? )為什么按下面兩種不同方法做出的結果不一樣？ 方法一：雙節循環法【規律】相鄰兩數之差為 6，12，6，12，…循環節為(6，12)【解】根據該方法分析的規律可計算得 15+6=21，21+12=33 33+6=39，39+12=51 51+6=57，57+12=69 69+6=75答案：69，75 15，21，33，39，51，57， ( ? )，( ? ) 方法二：素數序列因子法100以內的素數共25個，如下 2，3，5，7，11，13，17，19， 23，29，31，37，41，43，47， 53，59，61，67，71，73，79， 83，89，97?【規律】把各項作因子分解 3×5=15 3×7=21 3×11=33 3×13=39 3×17=51 3×19=57【解】19后面的素數是23，29，于是，根據用該方法分析的規律可得 3×23=69，3×29=87答案：69，87 . . . .

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