現代數學的基石—李理論

胡剛

現代數學的基石—李理論 李理論（Lie theory），命名自19世紀的挪威數學家索菲斯·李，是數學和物理學中一個極其重要且廣泛應用的理論，其根本概念是李群和李代數。這個理論提供了一個強大的框架，用于描述對稱性和連續變換，因此在許多科學領域中都有著廣泛的應用，包括量子力學、粒子物理、晶體學和機器人學。在谷歌中搜索“李理論”，會出現圖片： 它使得該理論看起來比實際上更難。然而，如果熟悉復數，那么已經遇到了一個例子，那就是那些于模為1的復數，你的本能反應可能是將這些數字視為 e^(i θ)： 如果更深入地思考，實際上是在這個復數圓上施加了一個坐標系統，例如，我們可以說這一點是 e^(i * 0.7π)： 這個圓是所謂的李群（Lie group）的一個例子。但一般來說，它可以是更高維的，更難以可視化的。李理論的精髓是，即使在這些復雜的情況下，也要盡量施加一個坐標系統，使其更容易處理。讓我們稍微詳細地闡述李理論，從李群開始。李群同時是兩個東西，它是一個群，但也是一個流形。 李群-群首先讓我們了解一下什么是群，因為它是一個更容易的概念。群基本上是一組滿足某些屬性的對象，使它們看起來具有對稱性。我們期望對稱性滿足的第一個屬性是封閉性。以正三角形的對稱性G為例，我們將 h 表示為沿斜軸的反射對稱性，g 表示為沿垂直軸的另一個反射對稱性，那么將 g · h 定義為函數組合，即首先做 h，然后做 g。事實證明，g 和 h 組合是一個旋轉。結果不重要，重要的是結果仍然是一個對稱性，因此它仍然在 G 中。 但為了使這個公理成立，我們需要對每對 g 和 h 都證明這一點。你可以逐個驗證這個情況，但根據定義，對稱性是任何保持對象不變的變換。所以如果 g 和 h 是對稱的，它們保持對象不變，那么當然，先做 h 然后做 g 也會保持對象不變，因此也是一個對稱性。對稱性還遵循一些其他屬性，如“結合律”： 如存在一個恒等元： 最后，對稱性都有一個逆： 如果一組對象滿足這4個條件，它就構成一個群。一個對象的對稱性自然地形成一個群。如果給定一組數字或矩陣，比如一開始的復數單位圓，檢查該集合是否滿足這些屬性是很有必要的。在這種情況下，你只需要使用模數相乘，甚至不需要用歐拉公式， 當然，不僅僅是這個圓形成了一個群。旋轉矩陣的集合，正交或酉矩陣都是群， 如果你對群不太熟悉，我強烈建議你對這些集合的群公理進行補習。你所需要的只是轉置、伴隨和行列式的一些其他屬性， 總之，群只是李理論的一部分。李群也是流形，那么什么是流形呢？讓我們通過一個例子來理解：復數的圓。 這個圓是流形，意思是在它上面的每一點，其鄰域基本上看起來像一條線，只是變形了。讓我們放大這一點的鄰域。 在圓的情況下，這是一個弧，可以平滑地變形為直線。 但同樣重要的是，這條線也可以平滑地變回弧。這種雙向變形就是我所說的“看起來像一條線”。當然，不僅僅是圓上的這一特定點。每個點都有這樣的屬性，即鄰域看起來像一條線。這就是我們稱圓為一維流形（1-dimensional manifold）的原因。但是還有更高維的流形，道理是一樣的。 只是任何點的鄰域不再看起來像一條線，而是（在這個圓環的情況下）看起來像一個平面。所以，一個圓環的表面是一個二維流形。一個更奇特的例子是SO（3），三維的旋轉。SO（3）看起來像什么呢？ 對于三維旋轉，首先要指明旋轉軸，然后是繞這個軸的旋轉角度θ。我們可以將這個特定的旋轉表示為流形上的一個點，球是一個實心球。球上的相應點將沿著旋轉軸的某處。軸上的位置取決于繞這個軸的旋轉角度。例如，這個軸上的點，從中心向上的θ單位，對應于沿著這個軸的θ旋轉。至于方向，使用右手法則。所以這個點在中心上方，意味著使用右手法則的逆時針旋轉。最后，我們將旋轉角限制為π，所以如果你的旋轉角超過π，那么就朝相反的方向旋轉。 這就是我們可以從幾何上思考SO（3）的方式，但這是一個相當奇怪的幾何圖形，因為這兩個相對的點實際上代表了相同的旋轉： 畢竟，它們都代表了180度的順時針或逆時針旋轉。你可以把這兩個點看作是一個相通的門，當你朝一個方向旋轉得越來越多，而且超過了π，那么立即通過門繼續向上行進。 但這不僅僅是一對點，球的表面上的每一個地方都是一個門，只是旋轉軸不同。如果聽起來很奇怪，那確實是奇怪的，但是，這仍然是一個流形，更具體地說是一個三維流形，這可以在更高的維度中正確地可視化，但必須在5維空間中才能做到這一點。總的來說，一個n維流形意味著所有的鄰域都“看起來像”n維空間。李群同時是群和流形的整體思想意味著兩件事：首先，我們不必把這些SO(n)(正交群)和SU(n)(酉群)純粹地看作一堆矩陣，我們可以幾何地思考它們，盡管在更高維的旋轉中，它變得不那么可視化。其次，在這兩者的交叉口，我們可以使用群論的工具和微分幾何的工具（這是流形的研究）來研究它們。李首先將李群視為流形。李代數地球的表面是流形的另一個例子，雖然地球的表面是彎曲的，但是我們可以通過施加一個坐標系統（例如經緯度系統）來制作一張平面的地圖。這樣，我們就可以將復雜的彎曲空間轉化為更容易處理的平面空間。這是一個將復雜的幾何對象（如地球表面）簡化為我們可以更容易處理的對象（如地圖）的例子。 李的思想是類似的。李群是復雜的曲面流形，同樣，我們要建立一個坐標系統，一個平的空間來處理它，那個平的空間就是李代數。讓我們用更多的細節說明這一點。在李群是復數圓的情況下，坐標系統由1（恒等元）處的切線組成。 它的工作原理是將切線向量與圓上的點相對應，這是非常自然的。如果向量的長度是θ，那么我們將它對應到李群上1處距離θ的一個點。 實際上，這個向量可以被認為是iθ， 這是因為復數不僅是平面上的一點，也可以被認為是從原點到該點的一個向量， 所以向上的向量對應于純虛數， 因此，這個向上的切線向量可以被認為是iθ。但是我們說，作為一個坐標系統，切線向量對應于距離恒等元θ的一個點，你知道這個點是什么嗎？這正是 這也與更一般的李群和李代數的非常相似。首先，有一個李群，我們想找到這個群的恒等元（即1）。一旦完成了這個任務，考慮恒等式處的切空間。這個平的空間是對應的李群的李代數。 李代數作為坐標系統的工作原理是使切空間（即1處的切線）上的切線向量“包裝”在李群上，然后取端點。 這種將切線向量對應到流形上的點的“包裝”動作稱為指數映射（exponential map）。在這個特定的情況下，向量iθ被包裝到李群上的e^(iθ)，所以它實際上是一個指數映射。 但這種指數映射的概念適用于一般的流形，而不僅僅是李群。換句話說，即使對于一般的流形，將切空間上的切線向量映射到流形上的點的動作仍然被稱為指數映射，理想情況下，我們希望只使用平的空間，因為它比彎曲的對象更容易處理。這個指數映射，或者實際上，其逆映射，或對數映射，將把流形上的一點還原到平坦空間上的一個切線向量。所以，這是理解李群的第一步。把它當作流形，我們想要把李群還原為李代數，通過對數映射，將恒等元處的切空間還原。 但是，如果我們把李群當作群，會怎樣呢？群公理告訴我們群元素和點乘應滿足哪些條件， 所以我們關心這樣一個群的乘法是如何運算的。舉例來說，有一個李群，其恒等元用紅點表示，對應的李代數，是恒等元處的切空間。中間的紅點對應于李群上的恒等元。 讓我們考慮一對元素g，h，以及它們的乘積g·h。我們可以用對數映射將所有這些點還原到平坦空間上的切線向量， 該映射將所有這些點還原到平坦空間上的切線向量。現在，如果只有對應于g和h的這些切線向量，能否不參考李群，就能確定對應于g·h的切線向量呢？ 一個天真的猜測可能是 但這些g和h是矩陣，它們的乘法方式與數字不同。然而，實際上存在一個公式。如果用X表示log g，用Y表示log h，用Z表示log (g·h)，那么Z可以作為無窮級數 這看起來令人生畏，但可以分解為兩個簡單的操作：首先，加法或減法。這正是那些切線向量的加法或減法。其次，這些方括號，被稱為李括號（Lie brackets）。目前，你可以將它們視為將兩個切線向量變為另一個切線向量的簡單但特定的操作。因此，如果我們還知道李括號，那么就知道對應于g·h的切線向量。這個公式，稱為Baker-Campbell-Hausdorff公式，簡稱BCH公式，使我們能夠完全在李代數上復制群乘法。所以，我們可以只在李代數上運算，而不是在彎曲的空間上。現在，在李群上，群公理告訴我們乘法應該滿足什么，而在李代數上，李括號也會相應地滿足一些性質。 目前，這些性質的細節不重要，但要知道，這些李括號的性質通常來自于李群中的乘法性質。識別這些性質是完全放棄李群，只關注李代數的另一步。因此，盡管我們原本想研究李群（因為它是一個更通用的結構），但我們可以轉而研究李代數，因為李代數包含了李群的所有重要信息，而且它是一個更簡單的結構。如今，大多數教科書將李代數定義為一個具有滿足所有這些性質的李括號的向量空間，但應值得注意的是，這些李群是這些性質的重要根源。李理論圖示這引出這個被認為代表李理論的圖示。 這是什么呢？如果你聽說過怪獸群（monster group），它們概念是相似的。對于怪獸群，我們想要考慮有限群，有限集合G， 這樣可以定義滿足這些公理的乘法。這些有限群可以分解為不同的構建塊，被稱為簡單群（simple groups）。 這些簡單群是有限群的原子，數學家想要對這些構建塊進行分類。有許多不同的機制可以產生無窮多的簡單群。以相似方式產生的構建塊被歸為一個無窮族（infinite families）。但是還有很多可能性，被稱為“零星”群（sporadic groups）。有26或27個，取決于你是否想將其中一個（構建塊）計算在那些無限族中。 順便說一句，這個構建塊被稱為蒂茨群（Tis group），以法國數學家雅克·蒂茨命名。 這有點離題，因為這些零星群的明星是怪獸群，到目前為止是最大的、最復雜的零星群（這26、27個零星群中的）。這個分類與對李代數的分類類似。類似于群的定義，李代數也有一個滿足某些性質的李括號。只用這些性質，我們想要對李代數的構建塊進行分類。類似于群的情況，這些簡單李代數有無窮的族。這不像群，恰好只有4個，分別標為A_n, B_n, C_n和D_n。除了這些無限族外，還有恰好5個被遺漏的，被稱為“例外”的李代數，分別標為E_6、E_7、E_8、F_4和G_2。 E_8是這五個中最復雜的，因此它在某種程度上是李代數中的怪獸群。這個特定的圖片是E_8的圖示描述： 所以，即使想要研究李群，我們也要轉而研究李代數，因為所有信息都被保留了，而且它們更容易研究。 <a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tvh1sY1ErfuE-7huK8isUw" target="_blank">此文來自《老胡說科學》</a>

跆拳道,波多野结衣结婚了吗,JAPANESE50MATURE亂倫,美女视频黄网站免费观看

現代數學的基石—李理論

胡剛