<p class="ql-block">如圖,在等腰△ABC 中,AB=AC=3,BC=2,點 D、E分別是 AC、AB上的動點,且 CD=AE,連接 DE.點F是 DE 中點,連接 AF,求AF的最小值.</p> <p class="ql-block">思維路徑</p><p class="ql-block">方法一:倍長AF至G，證點G在BC上</p><p class="ql-block">環節一:倍長AF構8字全等模型</p><p class="ql-block">延長AF至點G使FG＝AF，連接DG</p><p class="ql-block">易證△AFE和△GFD全等</p><p class="ql-block">可得DG∥AE，DG＝AE</p><p class="ql-block">環節二:利用等角證三點共線</p><p class="ql-block">由DG＝AE，AE＝CD，可得DG＝DC，則∠DCG＝∠DGC＝90o-1/2∠CDG</p><p class="ql-block">由AB＝AC可得∠ACB＝∠B＝90o-1/2∠BAC</p><p class="ql-block">由DG∥AE可得∠CDG＝∠BAC</p><p class="ql-block">則∠ACB＝∠ACG</p><p class="ql-block">因此點G在BC上即B、C、G三點共線</p><p class="ql-block">環節三:確定最值動點位置</p><p class="ql-block">作AM⊥BC，當點G與M重合時，AG取最小值，則AF取最小值</p><p class="ql-block">環節四:勾股定理求最值</p><p class="ql-block">在Rt△ABM中，由勾股定理可得</p><p class="ql-block">AG＝√AB2-BM2＝2√2</p><p class="ql-block">因此AF的最小值為√2.</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">方法二:作平行，證A、F、G三點共線</p><p class="ql-block">環節一:作平行構8字全等模型</p><p class="ql-block">作DG∥AB交BC于點G，連接FG</p><p class="ql-block">易證△AFE和△GFD全等</p><p class="ql-block">條件:AE＝DG，∠AEF＝∠FDG，EF＝DF</p><p class="ql-block">可得∠AFE＝∠DFG</p><p class="ql-block">證AE＝DG的方法:</p><p class="ql-block">由AB∥DG可得∠DGC＝∠B</p><p class="ql-block">由AB＝AC，∠B＝∠C</p><p class="ql-block">則∠DGC＝∠C可得DG＝CD</p><p class="ql-block">又AE＝CD</p><p class="ql-block">因此AE＝DG</p><p class="ql-block">環節二:利用平角證三點共線</p><p class="ql-block">由點F是DE中點，則∠AFD+∠AFE＝180o</p><p class="ql-block">又∠AFE＝∠DFG</p><p class="ql-block">可得∠AFD+∠DFG＝180o</p><p class="ql-block">因此點A、F、G三點共線</p><p class="ql-block">環節三:確定最值動點位置</p><p class="ql-block">作AM⊥BC，當點G與M重合時，AG取最小值，則AF取最小值</p><p class="ql-block">環節四:勾股定理求最值</p><p class="ql-block">在Rt△ABM中，由勾股定理可得</p><p class="ql-block">AG＝√AB2-BM2＝2√2</p><p class="ql-block">因此AF的最小值為√2.</p> <p class="ql-block">方法三:作平行四邊形，證三點共線</p><p class="ql-block">環節一:構平行四邊形</p><p class="ql-block">作DG∥AB交BC于點G，連接FG</p><p class="ql-block">由AB∥DG可得∠DGC＝∠B</p><p class="ql-block">由AB＝AC，∠B＝∠C</p><p class="ql-block">則∠DGC＝∠C可得DG＝CD</p><p class="ql-block">又AE＝CD則AE＝DG</p><p class="ql-block">因此四邊形AEGD是平行四邊形</p><p class="ql-block">環節二:利用對角線互相平分證共線</p><p class="ql-block">由點F是DE中點，則AG經過點F</p><p class="ql-block">因此點A、F、G三點共線</p><p class="ql-block">環節三:確定最值動點位置</p><p class="ql-block">作AM⊥BC，當點G與M重合時，AG取最小值，則AF取最小值</p><p class="ql-block">環節四:勾股定理求最值</p><p class="ql-block">在Rt△ABM中，由勾股定理可得</p><p class="ql-block">AG＝√AB2-BM2＝2√2</p><p class="ql-block">因此AF的最小值為√2.</p>
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