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相似勾股齊上陣，模型結構舞神威

數學尋夢人

<p class="ql-block">如圖，在四邊形ABCD中，AD</p><p class="ql-block">∥BC，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC＝90o，求BD/AC的值.</p> <p class="ql-block">思維突破</p><p class="ql-block">1.圖中平行+角平分線結構，可以得到等腰三角形，其作用有二:①△ABC和△建立聯系，②三線合一構成BD的倍分關系.</p><p class="ql-block">2.圖中角平分線盒平行等所得等角構建相似三角形建立AC和BD之間的關系；也可以利用三個直角三角形建立AC和BD之間的關系.</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">方法一:利用相似三角形(割法)</p><p class="ql-block">環節一:證等腰三角形</p><p class="ql-block">由AD∥BC可得∠CAD＝∠ACB</p><p class="ql-block">由BD平分∠ABC可得∠ABD＝∠CBD</p><p class="ql-block">則∠ABD＝∠ADB可證AB＝AD</p><p class="ql-block">環節二:證共邊相似</p><p class="ql-block">易證△ABC和△DCA相似</p><p class="ql-block">可得BC/AC＝AC/AD</p><p class="ql-block">則AC2＝AD?BC＝AB?BC</p> <p class="ql-block">環節三:圍繞角平分線構相似</p><p class="ql-block">作AE⊥BD于點E，由AB＝AD</p><p class="ql-block">可證BE＝BD/2</p><p class="ql-block">可證△ABE和△DBC相似</p><p class="ql-block">可得AB/BD＝BE/BC</p><p class="ql-block">則BD?BE＝AB?BC</p><p class="ql-block">BD2＝2AB?BC＝AC2</p><p class="ql-block">因此BD/BC＝√2.</p> <p class="ql-block">方法二:利用相似三角形(補法)</p><p class="ql-block">環節一:證等腰三角形</p><p class="ql-block">由AD∥BC可得∠CAD＝∠ACB</p><p class="ql-block">由BD平分∠ABC可得∠ABD＝∠CBD</p><p class="ql-block">則∠ABD＝∠ADB可證AB＝AD</p><p class="ql-block">環節二:證共邊相似</p><p class="ql-block">易證△ABC和△DCA相似</p><p class="ql-block">可得BC/AC＝AC/AD</p><p class="ql-block">則AC2＝AD?BC＝AB?BC</p> <p class="ql-block">環節三:圍繞角平分線構相似</p><p class="ql-block">延長BC至點E，使CE＝BC</p><p class="ql-block">可證BE＝2BC</p><p class="ql-block">可證△ABD和△DBE相似</p><p class="ql-block">可得AB/BD＝BD/BE</p><p class="ql-block">則BD2＝2AB?BC＝AC2</p><p class="ql-block">因此BD/BC＝√2.</p> <p class="ql-block">方法三:利用勾股定理</p><p class="ql-block">環節一:證等腰三角形</p><p class="ql-block">由AD∥BC可得∠CAD＝∠ACB</p><p class="ql-block">由BD平分∠ABC可得∠ABD＝∠CBD</p><p class="ql-block">則∠ABD＝∠ADB可證AB＝AD</p><p class="ql-block">環節二:證共邊相似</p><p class="ql-block">易證△ABC和△DCA相似</p><p class="ql-block">可得BC/AC＝AC/AD</p><p class="ql-block">則AC2＝AD?BC＝AB?BC</p> <p class="ql-block">環節三:連環三勾</p><p class="ql-block">在Rt△BDC中，可得BD2＝BC2+CD2</p><p class="ql-block">在Rt△ABC中，可得AC2＝BC2-AB2</p><p class="ql-block">在Rt△ADC中，可得CD2＝AC2-AD2</p><p class="ql-block">則BD2/AC2＝(BC2+CD2)/AC2＝(BC2+AC2-AD2)/AC2＝(BC2-AB2+AC2)/AC2＝2AC2/AC2＝2</p><p class="ql-block">因此BD/AC＝√2.</p><p class="ql-block"><br></p>
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