初中數(shù)學五日一題1(1--10)解法與解析集錦

海闊天空

文字:海闊天空題目:主要源于績優(yōu)學案同步練習冊 我的兩個初衷自從2024年9月1日開學起，九年制義務(wù)教育階段的一、七年級同時開始使用新教材。我的大孫女也正好進入七年級，這讓我毫無疑問的在關(guān)注著她的學習動向，特別是數(shù)學這一學科。本級學生數(shù)學科統(tǒng)一使用的是名為績優(yōu)學案的同步練習冊，這應(yīng)該是小學階段的學習與評價改了個名稱。雖然我沒有也沒必要給她經(jīng)常性的輔導(dǎo)，但我始終會一如既往的堅持一個做法，就是我手頭同時具有跟她同步的教材和同步練習冊，而且在一題不漏和不厭其煩的過目、鉆研、理解。如果她隨時需要，我一定會讓她滿意，這就是我的第一初衷。我有一個深刻的感覺，現(xiàn)在七年級的同步練習冊上有相當數(shù)量的題目從難度和跨度上都不亞于十年前八、九年級的題目。我雖為一名退休數(shù)學教師，但這好多題目都讓我完全是一種新的感覺，更需有新的認知。幸虧本人酷愛數(shù)學，否則這個做法難以堅持下去。數(shù)學同步練習冊上有一些題目很有趣味性和代表性，但資料上提供的答案往往是避重就輕，只有結(jié)果而沒有過程或是解析過程過于簡略。有些題目很有必要深鉆細研、深刻挖掘，但即是通過網(wǎng)上查詢也總難讓人感到滿意，所以有的題目會讓我通過多時甚至數(shù)日才能琢磨到毫不含糊的程度。這正是我將要系列分享“五日一題解法與解析集錦”的主要原由。借用網(wǎng)絡(luò)與人為善，為有志向的優(yōu)秀學子們突破高難度題目尋求正確解題思路提供參考、借鑒和方便，這是我的第二初衷。目的在于幫助優(yōu)秀學子們提升邏輯思維能力和提高分析和解決問題的能力。及早瞄準中、高考中20%的壓軸題。本人做為一名退休教師，若能對任何學子有一絲幫助，那將是我晚年生活的最大欣慰。 幾點說明1.五日一題集錦題目主要來源于?績優(yōu)學案中能力提升題、素養(yǎng)拓展題等欄目；?教材中單元習題和復(fù)習題中問題解決、聯(lián)系拓廣等欄目；?各單元測評卷中個別精選題目；?寒暑假作業(yè)中讓我留有標記的題目；?我孫女測試卷上出現(xiàn)過被我看中的題目。2.我對選入的題目原則上保證題意分析、詳解過程、解后反思這三步走，但個別題目例外，要么只有題意分析，要么只有解答過程，要么答案就在題意分析中，題意分析中重在談討問題的轉(zhuǎn)化方法和途徑，探究難點突破的巧思妙解。解后反思既是對題意分析的補充，又是自我感悟的分享。3.本人對題目三步走篇幅偏大其實是有意而為，這主要是讓每一位有可能閱讀者都能輕松讀懂，便于理解和借鑒。 　　2024年9月20日題1.小明學習了“面動成體”之后，他用了一個邊長分別為3㎝、4㎝、5㎝的直角三角形，繞其中一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到了一個幾何體。⑴請畫出可能得到的幾何體簡圖；⑵分別計算出這些幾何體的體積。(圓錐體積=?πr2h，結(jié)果保留π) ?(績優(yōu)學案七年級數(shù)學上冊p5頁第二課時“立體圖形的構(gòu)成”素養(yǎng)拓展題) 題意分析:?1.本題是一個“面動成體”后得到幾何體的實際例子。應(yīng)分三種情況畫圖和計算。2.分別繞以兩條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是兩個圓錐；而繞以斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到幾何體應(yīng)是同一個圓為底面的兩個圓錐的拼合體。體積自然是兩個圓錐體積的和。 詳解過程:⑴幾何簡圖畫法如下: ⑵計算幾何體體積如下: 解后反思:1.本題所畫幾何體簡圖是分別以短直角邊、長直角邊、斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)而得。2.由三個體積計算結(jié)果可知，旋轉(zhuǎn)軸所在邊越短，幾何體體積越大，這個結(jié)論可用于直接得到有關(guān)這類選擇題的答案。3.兩個圓錐拼合體的高其實就是兩個圓錐的高之和。 　　2024年9月25日題2.在圖1-2-1-10①中，A為正方體的頂點，在另一頂點B處有一昆蟲。圖②、圖③是正方體的兩種不同展開圖，根據(jù)A，B位置特點，請你在圖②、圖③中分別標出昆蟲的位置B。(績優(yōu)學案七年級上冊第一章“豐富的圖形世界”2.從立體圖形到平面圖形第一課時正方體的展開與折疊“素養(yǎng)拓展”8題) 題意分析:1.本題是一個從立體圖形到平面圖形，正方體的展開與折疊的一個典型題目。2.正方體中有上、下、左、右、前、后共6個面，每一個面都有一個相對的面和四個相鄰的面。3.圖①中的A點是左、前、下三個面的三條棱的公共端點；B點是右、后、上三個面中三條棱的公共端點。有了這樣的認知就不難在平面展開圖中找到B點。4.怎樣能準確的在展開圖中標注“上、下、左、右、前、后”這些字便是本題的關(guān)鍵。 解析與標注過程:1.∵在圖②中，點A是左、前、下三個面的三條棱的公共端點。∴B點應(yīng)是右、后、上三個面的三條棱的公共端點(如圖②點B)∵圖③中A點是左、后、下三面的公同頂點。∴點B應(yīng)是右、前、上三面的公共頂點(如圖③中點B) 解后反思:1.在正方體的展開圖中用文字標注，辯別面與面的位置關(guān)系，一般是先標出下面，再繼續(xù)思考。這實際上是把下面作為參照物在思考問題的。2.這類問題無非就是利用對邊關(guān)系或鄰邊關(guān)系通過思考推想解決問題的。3.正方體中任何一個頂點都可以說成哪三個面的公共頂點(或哪三個面所在棱的公共端點)。 　　2024年9月30日題?3.由16個完全相同的小立方塊搭成的幾何體，正視圖和左視圖如圖所示，其最下層放置了9個小立方塊，那么這個幾何體的搭法共有 ( c )(績優(yōu)學案七年級上冊第一章“豐富的圖形世界”2.從立體圖形到平面圖形第4課時從三個方向看物體的形狀專題一.由形狀判斷幾何體2題) 題意分析:1.仔細觀察這個幾何體的主視圖和左視圖及題目中信息，可以想到它的俯視圖為一個九宮格。2.這9個格子的位置可以用左前、左后、右前、右后、左中、右中、前中、后中、中中來稱謂；也可用1--9這些序號標注出來。(如下圖所示) 3.九宮格中每一排又可用前行、中行、后行、左列、中列、右列來稱謂。4.本題中所搭幾何體要同時滿足?前看“三、二、四”；?左看“二、三、四”；?最下層9個；?總共16個。5.仔細琢磨三視圖，3個重疊只能在“左中”位置、4個重疊只能在“前右”位置，2個重疊在中列和后行至少有一個。如下圖所示:這個2既在中列又在后行(一星管二)，其余位置均為1個。到此為止這個幾何體中已有15個小正方體，再差1個小正方體就滿足所有條件了(如下圖所示)。 10種搭法如下:1.在上圖中后中位置上的2個重疊不變的情況下，在最下層為1的六個位置上均可再搭1個小正方體，這便是6種搭法。2.若把后中位置上的2變在后左上去，那么前中和中中這兩個位置也可再搭1個小正方體，這又是兩種搭法。3.若把后左上的2再變到后右上去，又有搭上前中和中中兩種搭法。4.一共有6+2+2=10種搭法。 解后反思:1.本題所搭幾何體10種情況中無論哪一種都是是一個4、一個3、兩個2、5個1，總數(shù)為4+3+2×2+1×5=16個。2.其中的4個重疊、3個重疊位置固定不變，而同時出現(xiàn)的兩個2因所在位置不同而出現(xiàn)10種情況。3.無論哪種情況，必須保證中列和后行中每行至少有一個位置是兩個重疊，這樣才能一致符合正看“三、二、四”，左看“二、三、四”中的“二”的位置要求。4.本題中10中搭法上面只是說明了思路，并未把10個九宮格全部列出，原因是全部列出，如果思路不清晰，反倒把眼睛都看花了還不知道咋來的。 　　2024年10月5日題4.將正方體的表面沿某棱剪開，展開成一個平面圖，你剪開了幾條棱？與同伴進行交流，你們結(jié)果是否一致？(七年級數(shù)學上冊第一章第2單元從立體圖形到平面圖形p17頁13題)題意分析和推算方法:1.正方體或其它的立體圖形都有可能沿著某些棱剪開，展開成一個平面圖形。在一些產(chǎn)品加工前都要進行精心的設(shè)計和計算，其實往往還是先把平面圖形進行切割又制成需要的立體圖形的。2.要回答本題中的問題，首先應(yīng)明白正方體共有6個面、8個頂點、12條棱。在正方體中任何一條棱都可以把兩個平面連在一起。3.在正方體的平面展開圖中，6個面一定有5條棱連在一起，所以剪掉的棱一定是12-(6-1)=7條。4.從另一角度思考，從展開平面圖上，把所有正方形中沒有相連的邊數(shù)數(shù)清楚除以2所得結(jié)果就是展開前需要剪的條數(shù)。5.綜上可知，幾何體圖形展開時需要剪多少條棱都可用此方法推算出或數(shù)出。比如五棱柱要通過剪棱展開時，要剪15-(7-1)=8條。六棱柱要通過剪棱展開時，要剪18-(8-1)=11條。6.另外立方體中:面的個數(shù)+頂點個數(shù)-棱的條數(shù)=2。7.上述結(jié)論往往用于選擇或填空題，第6點也可用于有關(guān)題目中列方程時的等量關(guān)系。 　　2024年10月10日題5.如圖2-1-3-7，點A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是-1、2，若有一點C，滿足AC=2AB，求點C對應(yīng)的數(shù)，并在數(shù)軸上表示出點C。(由績優(yōu)學案七年級上冊第二章“有理數(shù)及其運算”.1.認識有理數(shù).第3課時數(shù)軸.p25頁能力提升題10題改編) 題意分析:1.關(guān)于數(shù)軸的知識最有分量的一個知識點就是:一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于m-n或n-m的絕對值，這個結(jié)論可當作一個公式用。?已知兩個點對應(yīng)的數(shù)求出兩點間的距離；?已知一個點對應(yīng)的數(shù)和兩點之間的距離，求另一點對應(yīng)的數(shù)。2.本題就是上述第二種，其實要解決本題應(yīng)有兩種方法，一是通過仔細觀察直接得到點C在數(shù)軸上的坐標(點C對應(yīng)的數(shù))；二是用數(shù)軸上兩點距離公式計算。 詳解過程: 解后反思:1.本題包括了求數(shù)軸上點的坐標和絕對值公式的應(yīng)用這兩個知識點。是有理數(shù)及其運算這一章必須應(yīng)掌握的題型。2.其實本題通過觀察也可得出同樣的結(jié)論，不過這個方法只能是填空題或選擇題才能直接應(yīng)用。3.兩數(shù)之差的絕對值就是這兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點之間的距離。 　　2024年10月15日題6.設(shè)n是正整數(shù)，則n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0。應(yīng)用上述結(jié)論，在數(shù)1，2，3…，2021前分別添加“+”和“-”，并運算，則所有可能的結(jié)果中最小非負結(jié)果是__。(績優(yōu)學案七年級上冊第二章“有理數(shù)及其運算”.2有理數(shù)的加減運算.第5課時有理數(shù)加減運算的應(yīng)用.p38頁能力提升題1) 題意分析:1.本題首先應(yīng)明白四個連續(xù)數(shù)的表示方法，n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這個結(jié)論意思是，四個連續(xù)正整數(shù)按照+、-、-、+這個順序添加(第一個“+”已省掉了)運算結(jié)果為0。若按-、+、+、-這個順序添加運算結(jié)果仍等于0。2.如果按照“+、-、+、-”或“-、+、-、+”這樣順序添加，運算結(jié)果應(yīng)為+n-(n+1)+(n+2)-(n+3)=-2和-n+(n+1)-(n+2)+(n+3)=2。本題也完全可以按照這個結(jié)論提出問題讓你解答。3.以上四種情況實際上就是四個整數(shù)運算結(jié)果分別為:①(-1)+(+1)=0.②(+1)+(-1)=0.③(-1)+(-1)=-2.④(+1)+(+1)=2.4.原題中“則所有可能的結(jié)果中最小非負結(jié)果是▁▁”意思是:因為2021÷4=505…1，這說明在2021個正整數(shù)中，有505組四個連續(xù)正整數(shù)，每組運算結(jié)果都是0。這個余數(shù)可以是最前邊的1，也可以是最后邊的2021，還可以是每隔四個數(shù)后面的5或9或13或17……(所有4的倍數(shù)加1的數(shù))總共有505+1=506個可能的結(jié)果。 解答過程:解:∵2021÷4=505……1 ∴除了最前面的1，后面所有數(shù)可依次分為505組四個連續(xù)正整數(shù)，每組按+、-、-、+添在每組數(shù)的前面，計算結(jié)果是505個0相加還得0，最終結(jié)果為1+0=1，∴本題答案為1。 解后反思:1.若設(shè)n為正整數(shù)，則n+1、n+2、n+3可表示它的三個連續(xù)正整數(shù)，依次類推。這樣的四個連續(xù)正整數(shù)總可以按一定順序添上“+”和“-”，運算結(jié)果可以是0，也可以是2或-2。2.本題原題中給出的結(jié)論等式實際上就是為了利用互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，在四個連續(xù)正整數(shù)前有規(guī)律的添加“+”和“-”，有意識的得到+1和-1這樣的兩數(shù)之和為0。3.本題中分析過程和解答過程其實都是一些心理活動，我這里有意增大篇幅是為了容易讀懂。 　　2024年10月20日題7.(我孫女單元測試卷上的題目) 題意分析:1.本題要求的是X-3的絕對值與X+2的絕對值的和，并要說明X在-2＜X＜3時，即無論X在-2與3之間怎樣變化，原式的值都不變的理由。2.若把-2和3在數(shù)軸上分別用點A、點B表示出來，再設(shè)點p為-2與3之間的一個動點，那么必有AP+BP=AB 詳解過程: 解后反思:1.這個題目得出一個結(jié)論，凡是本題形式的絕對值計算問題，就不需要逐個考慮了，只要把絕對值符號里的(X+常數(shù))先變成X-常數(shù)，直接用兩個常數(shù)一個減另一個再取絕對值就可以了。2.用上面結(jié)論可直接計算下面各式的值: 　　2024年10月25日題8.(績優(yōu)學案七年級上冊第二章“有理數(shù)及其運算”3.有理數(shù)的乘法運算.第3課時有理數(shù)的除法法則及運算.p45頁素養(yǎng)拓展11題) 題意分析:1.本題特殊方法是先求原式的倒數(shù)，再直接得到原式的值。2.本題一般方法也需掌握，關(guān)鍵是通分和找最簡公分母。 兩種解法如下: 解后反思:1.本題從表面上看用特殊方法先求原式的倒數(shù)再得原式的值可簡化原題。其實不然，只要會熟練的找到最簡公分母，再能合理的書寫表達常規(guī)方法并不比特殊方法復(fù)雜。2.找最簡公分母的方法是一個最基本的要求必須爛熟于心，進行分數(shù)除法才能得心應(yīng)手。下面是用短除法找本題中最簡公分母(最小公倍數(shù))的方法。 3.無論哪種運算都需把握繁簡度，該省的步驟一定要省掉，特別需要做好解后反思，盡可能的讓運算步驟恰到好處，千萬避免小題大做。 　　2024年10月30日題9.(績優(yōu)學案七年級上冊第二章“有理數(shù)及其運算”3.有理數(shù)的乘法運算.第2課時有理數(shù)乘運算律.p42頁素養(yǎng)拓展9題) 解法如下: 題意分析:1.本題作法不難理解，就是把每個1都按通分需要化成分子分母相同的分數(shù)，通過同分母減法得出所有的負分數(shù)。2.容易看出每個分數(shù)的分子與下一個分數(shù)的分母相同，依次約分后最終剩下第一個分母2018和最后一個分子1009組成的分數(shù)，再約分可得1/2。3.但本題最關(guān)鍵的是負因數(shù)的個數(shù)到底是奇數(shù)還是偶數(shù)，這個問題解決了，才能確定最后結(jié)果的符號。下面用一個類似的例子但分數(shù)個數(shù)少得多的負因數(shù)個數(shù)的直觀的確定方法。 4.由上面例子可知:負因數(shù)的個數(shù)為4。而這個4又恰好等于最后這個分數(shù)的分母減去分子，即10-6=4。那么回到原題最終得到的分數(shù)，負因數(shù)的個數(shù)應(yīng)該是2018-1009=1009，這是個奇數(shù)，所以分數(shù)的符號為“-”。 解后反思:1.對于本題這樣的跨度很大，但是用了省略號的題目，要確定它的個數(shù)不很直觀時，往往用上面的方法，即設(shè)計一個類似的有限個數(shù)得例子得到正確的結(jié)論。2.這個方法叫做類比，通過類比由簡例得到繁題的結(jié)論。 　　2024年11月5日題10.(績優(yōu)學案七年級上冊第二章“有理數(shù)及其運算”2.有理數(shù)的加減運算.第4課時有理數(shù)加減算(代數(shù)和).p35頁素養(yǎng)拓展10題) 題意分析:1.本題由題意可知3+a+b=a+b+c=b+c+(-1)，但到此為止并不是要利用這些等式計算出a、b、c。而是要按①②③這個順序三個數(shù)循環(huán)重復(fù)，并利用已知數(shù)3、-1、2所在位置得到a、b、c的值。 2.在循環(huán)過程中3和c都在①的位置上，所以c=3；a和-1都在②的位置上，所以a=-1；b和2都在③的位置上，所以b=2。3.有了a、b、c的值可以驗證最初所列出的三數(shù)相加的連等式是正確的，而且都等于4，這說明了這個表格的循環(huán)節(jié)就是3、-1、2。有了循環(huán)節(jié)的個數(shù)和位次，本題問題就迎刃而解了。 解答過程:解:由上面分析和表格下的數(shù)據(jù)可知:循環(huán)節(jié)為3、-1、2，循環(huán)節(jié)個數(shù)為3。?∵2021÷3=673……2。這說明共有673個循環(huán)節(jié)余數(shù)為2。∴2021個數(shù)是下一個循環(huán)節(jié)的第二個數(shù)-1。 解后反思:本題從左到右的每個小格子所填整數(shù)規(guī)律是:?按3、-1、2循環(huán)出現(xiàn)直至第2021個數(shù)；?無論從中取哪三個連續(xù)數(shù)加起來都等于4固定不變。 初中數(shù)學五日一題(1)(1--10)解法與解析集錦到此結(jié)束，后續(xù)初中數(shù)學五日一題(2)(2--20)將另文發(fā)表，歡迎光臨和關(guān)注！

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