<p class="ql-block">EXCEL是在電腦上做表格文件的工具。我們可以利用EXCEL附帶的計算功能，解決中小學奧數中常見的一些計算難題，比如一題有多解，需要大量計算的題，同類題的通解，等等。EXCEL計算要用到函數，你只需要會加減乘除，再要用哪項計算，可以用百度搜索對應的函數和用法，現學現賣就夠用，不需要熟知EXCEL所有的計算功能。</p><p class="ql-block">先看下面這道題：</p><p class="ql-block">有30個人，其中有男人、女人和小孩，他們在一家小飯館里共花了50先令；每個男人花3先令，每個女人2先令，每個小孩1先令；問男人、女人和小孩各有多少?（《馬克思數學手稿》）</p><p class="ql-block">這道題看起來不難，但符合條件的解太多，計算起來很麻煩。用EXCEL來解，很簡單。</p><p class="ql-block">設男人、女人、小孩數分別為x、y、z，列方程：</p><p class="ql-block">x+y+z=30</p><p class="ql-block">3x+2y+z=50</p><p class="ql-block">消元得到：</p><p class="ql-block">2x+y=20</p><p class="ql-block">接下來，在下面的EXCEL工作表中，我們在“x+y+z”下的A3單元格填入“30”，在“x的系數”下的B3單元格填入“2”，在“y的系數”下的C3單元格填入“1”，在“等式右邊”下的D3單元格填入“20”。</p> <p class="ql-block">自動計算的結果即時顯現：一共得到11組自然數解。</p><p class="ql-block">這是如何實現的呢？</p><p class="ql-block">我們從表中第6行第2列“x”之下的B6單元格起依次向下填入數字“0”、“1”、“2”、“3”、“4”……；</p><p class="ql-block">在第3列“y”之下的C6單元格輸入“=(d3-b6*b3)/c3”；</p><p class="ql-block">在第4列“z”之下的D6單元格輸入“=IF(c6=INT(c6),a3-b6-c6,“非正整數解””，換成普通話就是:“如果c6格中的數是整數，則d6格的數等于a3格中的30減去b6中的數再減去c6中的數；若不是整數，則在d6格中輸入“非整數解””。</p><p class="ql-block">實際效果就是，當x=1時，y=（20-2×1)÷1=18；z=30-1-18=11；</p><p class="ql-block">x=2時，……</p><p class="ql-block">上面輸入的函數式中使用了四則運算符號--“+”、“-”、“＊”、“/”和“=”，邏輯函數“IF”，還有整數函數“INT”。</p><p class="ql-block">輸入第一行的函數后，下面各行函數可以通過向下填充得到，函數式中的“b6”依次自動換成“b7”、“b8”、“b9”、……。</p><p class="ql-block">現在我們有了一個解題模板，可以用來自動解同類型題。</p><p class="ql-block">如古代《算經》中的“百雞問題”：</p><p class="ql-block">雞翁一,值錢五,雞母一,值錢三,雞雛三,值錢一.百錢買百雞.問雞翁母雛各幾何?(譯:每一只公雞價值是5個錢,每一只母雞價值是3個錢,每三只小雞價值是1個錢,現有100個錢想買100只雞。問公雞,母雞和小雞各應買幾只?)</p><p class="ql-block">設公雞、母雞、小雞數分別為x、y、z，列方程：</p><p class="ql-block">x+y+z=100</p><p class="ql-block">5x+3y+1/3z=100</p><p class="ql-block">消元得到：</p><p class="ql-block">7x+4y=100</p><p class="ql-block">我們將模板中需要填入已知條件的四個單元格中的數字分別改為“100”、“7”、“4”、“100”，答案秒出，得到自然數解共4組，見下面的工作表：</p> <p class="ql-block">接著用EXCEL解題，換一種類型。</p><p class="ql-block">迎春杯小學數學競賽題：</p><p class="ql-block">在圖中七個小圓圈中各填入一個自然數，同時滿足以下要求：</p><p class="ql-block">（1）使所填的七個自然數的和是1997；</p><p class="ql-block">（2）使圖中給的每個數都是相鄰兩個○中所填數的差。</p> <p class="ql-block"> ○</p><p class="ql-block"> 7 1</p><p class="ql-block"> ○ ○</p><p class="ql-block"> 6 2</p><p class="ql-block"> ○ ○</p><p class="ql-block"> 5 3</p><p class="ql-block"> ○ 4 ○</p><p class="ql-block"> </p> <p class="ql-block">設最上面圓圈內的數為x，其它六個數大于或小于x的那部分數值之和為y，列出等式：</p><p class="ql-block">7x+y=1997</p><p class="ql-block">上式中，求出y值即可得出x值。</p><p class="ql-block">y值是x之外的六個數各自與x的差的總和，因此首先要確定這六個數各自與x的差。七個數中，第一個是x，它和第七個數相差7，即第七個數與第一個數的差是±7。于是有下面這個等式，需要在等式左邊的每個數字之間加入加減號，使等式成立。</p><p class="ql-block">1 2 3 4 5 6=±7</p><p class="ql-block">一共有八種加減號的添加方式，形成八種相鄰差的組合，相鄰差還要轉換成對x的增減值，其和即y值。如此，得到七個不同的y值。</p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;">在1 2 3 4 5 6=7的等式中填入加減號，有以下四種組合：</span></p><p class="ql-block">組合1：1+2-3-4+5+6</p><p class="ql-block">轉換成y值：1+3+0-4+1+7=8</p><p class="ql-block">組合2：1-2+3+4-5+6</p><p class="ql-block">轉換成y值：1-1+2+6+1+7=16</p><p class="ql-block">組合3：1-2-3-4-5+6</p><p class="ql-block">轉換成y值：1-1-4-8-13-7=-32</p><p class="ql-block">組合4：-1+2+3+4+5-6</p><p class="ql-block">轉換成y值：-1+1+4+8+13+7=32</p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;">在1 2 3 4 5 6=-7的等式中填入加減號，也有四種組合：</span></p><p class="ql-block">組合5：-1+2-3-4+5-6</p><p class="ql-block">轉換成y值：-1+1-2-6-1-7=-16</p><p class="ql-block">組合6：-1-2+3+4-5-6</p><p class="ql-block">轉換成y值：-1-3+0+4-1-7=-8</p><p class="ql-block">組合7：-1-2+3-4+5+6</p><p class="ql-block">轉換成y值：-1-3+0-4+1+7=0</p><p class="ql-block">組合8：1+2-3+4-5-6</p><p class="ql-block">轉換成y值：1+3+0+4-1-7=0</p><p class="ql-block">本題給出的總數是1997，我們從上面的組合中找到符合題意的y=16（1997-16能被7整除）。由y=16，計算出x=283。其它六數的值可通過組合2中各數對x的增減值（1-1+2+6+1+7）計算出來。</p><p class="ql-block">整個做題過程很繁瑣：先要找到所有的加減符號添加方式，一一轉換成y值，并從所有y值中挑選出滿足題意的y值，再由y值計算出x值，最后通過符合條件的添加方式計算出其它六個數的值。</p><p class="ql-block">下次再遇到這種題時，比如把總數改為8995，其它條件不變。解題的時候，你不可能記住上面所有的加減符號添加方式和y值，你仍然要重復上面的步驟，花費一樣多的時間。</p><p class="ql-block">下面，我們利用總數除以7的余數、相鄰差的加減與y值之間的相互關系，用EXCEL建立一個計算模板。輸入總數，秒出答案。</p><p class="ql-block">實際計算見下表：</p> <p class="ql-block">我們在”總數”下的B5單元格中輸入數字8995，MOD函數在”余數”下的C5單元格中計算出該數除以7余數為0，用IFS函數確定余數0對應的y值(D5單元格)也為0，并在”x”下的E5單元格中用算術函數自動算出x的值1285。</p><p class="ql-block">注：D5單元格中輸入的函數公式：</p><p class="ql-block">=IFS(C5=1,8,C5=2,16,C5=3,-32,C5=4,32,C5=5,-16,C5=6,-8,C5=0,0)，意思是，如果表示余數的C5單元格中的數字為0-6之一時，則本單元格D5中填入該余數所對應的y值，例如，余數是1，則y值是8。</p><p class="ql-block">在接下來的第8-15行的列表中，0-6的七個余數對應著八種加減關系，即八種計算模式。EXCEL的IF函數從中找到余數為0的兩種計算模式，并在所在行的B列單元格中自動填入x的值，在C-H列的單元格中根據對應的計算模式計算出后六個數，如此得到七個數的兩組解。</p><p class="ql-block">注：B列中從上至下8個單元格，以第7個單元格為例，該單元格內輸入的函數公式是：=IF(C5=A12,E5)，意思是，如果C5單元格的數值等于A12單元格的數值，則本單元格(B12)的數值等于E5單元格x的數值。</p><p class="ql-block">換一個數，比如總數改為998877，答案亦秒出，見下表：</p> <p class="ql-block">（注：為避免七個得數中出現負數，隨機輸入的數字應大于66。）</p><p class="ql-block">繼續用EXCEL解題。</p><p class="ql-block">韓信點兵是中小學數學競賽中常見的一類題，例如，一隊士兵，三個三個一排多兩個，五個五個一排多三個，七個七個一排多兩個，問至少有多少士兵？</p><p class="ql-block">這類題屬于同余問題，通解用公式法。上題中，幾個幾個一排就是除以幾，幾個是除數（數學術語稱之為“模數”），多幾是余數。</p><p class="ql-block">選一道古書中除數(模)多的題：二數余一，五數余二，七數余三，九數余五，問本數。（楊輝：《續古摘奇算法》）</p><p class="ql-block">上題中，“二數”是“兩個兩個一數”的意思。“數”之前的數字二、五、七、九分別是模1(m1)、模2(m2)、模3(m3)、模4(m4)的值，“余”之后的數字一、二、三、五分別是余數1（b1)、余數2(b2)、余數3(b3)、余數4(b4)的值。由于是用EXCEL解題，要適用所有情形，無法使用奧數中的各種靈活解法，而是采用公式法。</p><p class="ql-block">設本數為x，通解公式是：</p><p class="ql-block">x=模2×模3×模4×乘率1×余數1+模1×模3×模4×乘率2×余數2+模1×模2×模4×乘率3×余數3+模1×模2×模3×乘率4×余數4。</p><p class="ql-block">公式看上去很復雜，實際上是由四個相似的乘式相加組成，每一個乘式都是由四個模數中的三個模數相乘，再與乘率以及余數相乘。</p><p class="ql-block">乘率不是已知條件，需要計算出來。當四個模數中的三個模數相乘的積除以另一個模數，余數不是1時，需要再乘以一個數，使它們的積再除時余數為1，再乘的這個數就是乘率。以乘率4為例：模1、模2、模3相乘等于70，70除以9（模4），余數為7，不是1。7再乘4等于28，28除以9余1，倒推出乘率4的值是4。乘率1、乘率2、乘率3的確定以此類推。</p><p class="ql-block">公式中不同的三個模數相乘的乘積，分別用M1、M2、M3、M4表示，M是四個模數的乘積。乘率1至4，分別用M'1、M'2、M'3、M'4表示。</p><p class="ql-block">計算過程見下面的工作表：</p> <p class="ql-block">本題已知條件共有八個數字，模數2、5、7、9，余數1、2、3、5，分別填入上表中第3行的八個單元格中。第7行中是自動計算出的M、M1、M2、M3、M4的值。</p><p class="ql-block">表中第23行以下，第一列A列（試數）從1往下依次加1；</p><p class="ql-block">第二列B列，計算出試數乘以M1再除以m1的余數，此處（B23單元格）輸入：=MOD(A23*A10,A4)；</p><p class="ql-block">第三列C列，當第二列的得數為1時，同一行第一列的試數就是乘率1(M'1)，此處（C23單元格）輸入：=FILTER(A23:A43,B23:B43=1)，意思是說，B23到B43范圍中的數等于1，則此單元格內的數等于A23到A43范圍中相對應的數，即乘率1。</p><p class="ql-block">用同樣的方法在第五列E列得到乘率2，第七列G列得到乘率3，第九列I列得到乘率4。</p><p class="ql-block">乘率1至4的值，我們只取第一行的數，自動填入第13行的四個單元格中。在F16單元格中按照通解公式用算術函數計算出x的一個值；在G16中用MOD函數計算出x的最小值。第19行顯示x的所有解，即437、437+630、437+630×2、437+630×3 ………。</p><p class="ql-block">再用EXCEL計算下面這道有五個除數（模數）的余數題。</p><p class="ql-block">今有數不知總，以5累減之剩3，以715累減之剩538，以247累減之剩174，以391累減之剩109，以187累減之也剩109，問總數若干。（黃宗憲：《求一術通解》）</p><p class="ql-block">解同余式組，要求模數兩兩互質，即任意兩個模數中均不得含有除了1之外的共同因數。上題不符合兩兩互質的要求，需要轉化為兩兩互質并與原式有相同解的形式。</p><p class="ql-block">上題原式：</p><p class="ql-block">X≡3 (mod 5)</p><p class="ql-block">X≡538 (mod 5×11×13)</p><p class="ql-block">X≡174 (mod 13×19)</p><p class="ql-block">X=109 (mod 17×23)</p><p class="ql-block">X≡109 (mod 11×17)</p><p class="ql-block">轉換為兩兩互質的形式：</p><p class="ql-block">X≡3 (mod 5)</p><p class="ql-block">X≡109 (mod 11×13)</p><p class="ql-block">X≡3 (mod 19)</p><p class="ql-block">X≡17 (mod 23)</p><p class="ql-block">X≡7 (mod 17)</p><p class="ql-block">”≡”是同余符號。“X≡3 (mod 5)”表示X與3同除以5有相同的余數3。</p><p class="ql-block">轉換后新的同余式組，用現代文字描述為：自然數x，除以5余1，除以143余109，除以19余3，除以23余17，除以17余7，求x。</p><p class="ql-block">自動計算結果見下表：</p> <p class="ql-block">上表第4行逐一輸入模1-模5和余數1-余數5的值。</p><p class="ql-block">其中乘率2的計算，計算量較大。用M2除以m2，即37145除以143，得到余數108。用108乘以一個數，使乘積除以143余1，經過從1試算到49才得到M'2的值。由于是自動計算，計算步驟再多也感覺不出來。</p><p class="ql-block">上面的EXCEL模板，解鎖了這一類同余式方程組的所有題解。需要注意的是，此類題要求模數（除數）兩兩互質，滿足這個條件才能用上面的模板自動計算。</p><p class="ql-block">為什么要用EXCEL做題？</p><p class="ql-block">計算器是計算工具，普及了計算器之后，筆算和珠算就淡出了。而EXCEL就像一個超級計算器，用了它，計算器就多余了。經常有考試禁止帶計算器入場，小學應用題不讓用方程解題的規定，這些限制毫無意義。數學是用來解決問題的，解決問題不應當限制工具的使用。</p>
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