說說“統計與概率”

姜鋒

義務教育階段數學課程內容由數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個學習領域組成。 數與代數、圖形與幾何、統計與概率以數學核心內容和基本思想為主線循序漸進，每個學段的主題有所不同。綜合與實踐以培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力為目標，根據不同學段學生特點，以跨學科主題學習為主，適當采用主題式學習和項目式學習的方式，設計情境真實、較為復雜的問題，引導學生綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法解決問題。 根據學段目標的要求，四個學習領域的內容按學段逐步遞進，不同學段主題有所不同。具體安排如表2。 　　(三)統計與概率 統計與概率是義務教育階段數學學習的重要領域之一，在小學段包括“數據分類”“數據的收集、整理與表達”和“隨機現象發生的可能性”三個主題。這些內容分布在三個學段，由淺入深，相互聯系。學生在學習過程中，了解統計與概率的基礎知識，感悟數據分析的過程，形成數據意識。 “數據分類”的本質是根據信息對事物進行分類。學生經歷從事物分類到數據分類的過程，感悟如何根據事物的不同屬性確定標準，依據標準區分事物，形成不同的類。在學習統計圖表時，學生將進一步認識數據的分類，從中感悟對事物共性的抽象過程，不僅為統計學習，也為數學學習奠定基礎。 “數據的收集、整理與表達”包括數據的收集，用統計圖表、平均數、百分數表達數據。在學習過程中，讓學生初步感受現實生活中存在大量數據，其中蘊含著有價值的信息，利用統計圖表和統計量可以呈現和刻畫這些信息，形成初步的數據意識。 “隨機現象發生的可能性”是通過試驗、游戲等活動，讓學生了解簡單的隨機現象，感受并定性描述隨機現象發生可能性的大小，感悟數據的隨機性，形成數據意識。 內容要求 　　第一學段(1～2年級) 【內容要求】 1.數據分類 會對物體、圖形或數據進行分類，初步了解分類與分類標準的關系，形成初步的數據意識。 學業要求 　　【學業要求】 1.數據分類 能依據事物特征，按照一定的標準進行分類；能發現事物的特征并制訂分類標準，依據標準對事物分類；能用語言簡單描述分類的過程；感知事物的共性和差異，形成初步的數據意識(例37)。 例題 　　例37 制訂分類標準 選擇不同的標準，把全班同學分為兩類，記錄并呈現調查的結果，講述調查的過程。 【說明】分類是對數據進行的初步整理，也可以是設計數據獲取方案的基礎。在活動中，可以讓學生感知數據蘊含著信息，為以后統計與概率的學習積累感性經驗。教學中，應鼓勵學生合理地提出分類標準，依據標準對調查數據進行分類。具體可作如下設計。 　　(1)鼓勵學生自己制訂分類標準，感悟分類標準與數據信息之間的關聯。例如，按照性別分類可以知道男、女同學的多少，按照出生年月分類可以知道同學的年齡狀況，等等。 (2)可以以小組為單位制訂分類標準，設計調查方案，進行調查研究，收集數據，完成分類。 (3)嘗試運用各種方式(如文字、圖畫、表格等)呈現小組的調查結果，講述調查的過程和結論。 (4)在這樣的教學過程中，要引導學生進行小組內的交流和全班內的積極配合，培養協同意識和交往能力。 教學提示 　　【教學提示】 數據分類的教學。要重視對接學生學前階段已有的生活經驗，鼓勵學生在活動中學會物體的簡單分類，在親身參與的動手活動中感悟分類的價值，在分類的過程中認識事物的共性與區別，學會分類的方含義法。鼓勵學生運用文字、圖畫或表格等方式記錄并描述分類的結果，據意體會如何用數學語言表達現實世界，形成初步的數據意識(例38)，為后續學習統計中的數據分類打好基礎。 例題 　　【說明】本活動適合第一學段的兩個年級，可以在要求上有所區分。活動的目的是希望學生能夠清楚“分類要依據分類標準”。例如，扣子的形狀、顏色或者扣眼的數量都可以作為分類的標準，而在不同的分類標準下分類的結果可能是不同的。本活動有利于培養學生把握事物特征、抽象事物共性的能力。 此外，活動還要求學生運用文字、圖畫或表格等方式記錄分類的結果，這有利于培養學生整理數據的能力。具體可作如下設計。 (1)教師提出問題，引導學生討論分類標準。啟發學生遵循有序的思維過程：先選擇一個指標(如顏色)作為分類標準，再基于第一次分類的結果思考還可以怎樣繼續分類，體會還能以“形狀”或“扣眼數”為標準進行第二次分類，初步了解分類是有層次的，體會層層遞進的思考。 (2)根據已經討論確定的分類標準對學生分組，引導學生實際操作，合作完成計數，各小組呈現統計結果。 (3)組織學生報告統計結果，引導學生作出評價，幫助學生整理思路。 內容要求 　　第二學段(3~4年級) 【內容要求】 1.數據的收集、整理與表達 (1)經歷簡單的數據收集和整理、描述和分析的過程，了解簡單的收集數據的方法，會呈現數據整理的結果(例39)。 (2)通過對數據的簡單分析，感受數據蘊含著信息，體會運用數據進行表達與交流的作用。 (3)認識條形統計圖，會用條形統計圖合理表示和分析數據。 (4)能讀懂報紙、電視、互聯網等媒體中的簡單統計圖表。 (5)探索平均數的意義，能解決有關的簡單實際問題(例40)。 (6)能在簡單的實際情境中，合理應用統計圖表和平均數(例41)，形成初步的數據意識和應用意識。 例題 　　例39 調查研究 某班的新年聯歡會準備購買水果，要調查班級同學喜歡吃的水果，設計購買方案。 【說明】經歷調查班級同學喜歡吃的水果的過程，感悟數據調查的方法，知道數據分析對于決策的作用。具體可作如下設計。 (1)全班同學討論決定購買方案的原則，可以在限定的金額內考慮學生最喜歡吃的一種或幾種水果，或者其他原則，讓學生感知制訂原則對于調查研究的重要性。 (2)引導學生討論收集數據的方法。例如：可以采用一名同學提議、其他同學贊同舉手的方法；可以采取填寫調查表的方法；等等。 (3)按照討論后的方法收集數據、整理數據，然后按照決定的原則制訂購買水果的方案。 在這樣的過程中，可以根據學生討論的實際情況靈活生成教學過程，要讓學生感知：收集數據的方法沒有對錯之分，但要一以貫之；購買方案沒有對錯之分，但要符合最初制訂的原則。培養學生想事情和做事情的嚴謹性，發展理性精神。 　　【說明】讓學生在比較兩個小組跳繩比賽結果的過程中，體會每個小組的平均數能夠表達這個小組數據的集中趨勢，理解平均數的代表性，逐步提升數據意識。具體可作如下設計。 (1)讓學生認識到兩個小組人數不同，不能用總數作為比較兩個小組跳繩整體水平的依據，感悟引入平均數的必要性；在引導學生利用平均數進行比較的過程中，感悟平均數可以用來代表小組的整體水平；在用平均數對兩個小組跳繩水平進行分析的過程中，逐步理解平均數作為一個統計量，能夠刻畫一組數據的集中趨勢，介于“最大數”與“最小數”之間。 (2)引導學生討論第一組中兩個“92”的實際意義，通過這兩個數值所表示意義的不同，進一步理解平均數的代表性。 (3)繼續引導學生討論，如果第二組再增加一名學生參加比賽，這組的平均成績可能會發生怎樣的變化？感悟每一個數據都會對平均數產生影響。 　　例41 同學身高數據的整理與分析 整理全班同學的身高數據，根據希望了解的問題，對數據進行分析，得到結論。 【說明】學校每年都要測量學生的身高，這為學習統計提供了很好的數據資源，希望學生把每年測量身高的數據都保留下來，可以根據不同年級學生的學習要求，分析不同的問題。在第二學段，學生可以直接發現數據提供的信息，如最高(最大值)、最矮(最小值)、最高與最矮相差多少(極差)，大部分同學的身高是多少(眾數)等；在第三學段，學生可以通過數據的整理得到信息，如分別計算男生、女生身高的平均數，進行身高比較，或者用條形統計圖表達幾個身高段中的人數等；到六年級，學生展示自己身高的變化。在這樣的過程中，讓學生感悟保留數據的必要性，在現實生活中養成科學態度。 學業要求 　　【學業要求】 1.數據的收集、整理與表達 能收集、整理具體實例中的數據，并用合適的方式描述數據，分析與表達數據中蘊含的信息。能用條形統計圖合理表示數據，說明數據的現實意義。 知道用平均數可以刻畫一組數據的集中趨勢，知道平均數的統計意義；知道平均數是介于最大數與最小數之間的數，能描述平均數的含義；能用平均數解決有關的簡單實際問題(例42)，形成初步的數據意識和應用意識。 例題 　　例42 上學時間 學生記錄自己一周內每天上學途中所需時間，經歷通過試驗獲取數據的過程，感悟平均數所提供的信息。 【說明】本活動可以通過主題活動的方式進行，適用于第二、第三學段。要求學生記錄每天上學途中所需的時間，經歷記錄試驗數據的過程；計算累計數據的平均數，運用平均數表達從試驗開始每天上學途中所需時間，感悟平均數的意義，建立初步的數據意識。 如果以分為單位記錄上學時間，那么學生每天上學途中所需時間將會不同，感悟數據的隨機性；如果記錄的天數越來越多，那么累計數據的平均數會越來越穩定，讓學生感悟平均數的特征。具體可作如下設計。 (1)指導學生進行試驗。啟發學生設計試驗方案，例如：事先調整家里鐘表的時間，使其與到學校時觀察的鐘表時間保持一致；在試驗期間，保證每天上學途中的行為盡量一致；作為參照，也可記錄放學回家的時間；等等。在這樣的過程中，培養學生做事的嚴謹性，在日常生活中形成科學態度。 (2)指導學生析取信息。啟發學生感知，雖然每天上學時間可能不同，但通過一周的記錄可以知道大概需要多少時間，可以知道上學途中所需要的最長時間和最短時間等。在這樣的過程中，讓學生感悟數據蘊含著信息，信息的獲得往往需要對數據進行加工。 (3)組織學生進行交流。引導學生比較自己與他人的數據加工結果，獲得整體信息：同學上學途中所需的平均時間，大多數同學上學途中所需時間，上學途中所需的最長時間和最短時間；還可以將上學時間分段，統計每個時間段的人數，利用條形統計圖進行表達。在這樣的過程中，引發學生體會調查研究的樂趣。 教學提示 　　【教學提示】 數據的收集、整理與表達的教學。創設真實情境，引導學生經歷簡單的數據收集和整理，感悟收集數據的意義和方法，用數學語言表達數據所蘊含的信息，形成初步的數據意識。 條形統計圖教學要通過現實背景，讓學生理解條形統計圖中橫軸和縱軸的意義及二者之間的關聯，知道條形統計圖的主要功能是表達數量的多少，借助條形統計圖可以直觀比較不同類別事物的數量。 平均數教學要引導學生在熟悉的情境中理解平均數所具有的代表性，通過刻畫一組數據的集中程度表達總體的集中狀況。例如：某籃球運動員平均每場得分、某地區玉米或水稻的平均畝1產、某班級學生的平均身高等，理解平均數的意義；也可以讓學生經歷收集體現社會發展或科技進步數據的過程，初步體會平均數的統計意義，形成初步的數據意識(例43)。 例題 　　例 43 “三百星”的故事 通過閱讀資料，知道中國空間技術研究院從1970年到2020年的50年里已經向太空成功發射了300個航天器，俗稱為“三百星”。根據發射一個“百星”所用年數，體會用平均數進行表達的統計意義，同時感悟中國航天科技加速發展的趨勢。 【閱讀資料】摘編自《人民日報》2021年1月18日《科技視點》欄目，文字有修改。 1970年4月24日，中國發射了獨立自主研制的第一顆航天器東方紅一號衛星，邁出了走向太空的第一步。2020年11月24日到12 月17日，嫦娥五號完成了23 天的月球采樣返回之旅，創造了中國航天史上又一個里程碑式的成就。從東方紅一號到嫦娥五號，中國空間技術研究院研制并成功發射了300個航天器，俗稱為“三百星”，包括第一顆人造衛星、第一艘飛船、第一顆導航衛星、第一顆月球探測器、第一個空間實驗室、第一艘貨運飛船……其中，發射第一個“百星”用了41年時間，完成第二個“百星”用了6年時間，而達成第三個“百星”只用了3年時間。 【說明】在引導學生閱讀資料的過程中，啟發學生發現并提出問題。50年發射300星，可以求出平均每年發射6顆星，即300÷50=6。還可以思考、研究、計算每一個“百星”的時間段和年平均發射星的數量。得到： 第一個“百星”：100÷41～2.4(顆)， 第二個“百星”：100÷6～16.7(顆)， 第三個“百星”：100÷3～33.3(顆)。 通過對比分析每一個“百星”在三個不同年段的平均數，特別是與“平均每年發射6顆星”比較，可以讓學生更加直觀地感悟到數據變化的趨勢與程度，體會平均數的統計意義，感受我國航天事業的加速發展。 內容要求 　　第三學段(5～6年級) 【內容要求】 1.數據的收集、整理與表達 (1)根據實際問題需要，經歷數據收集、整理和分析的過程，能合理述說數據分析的結論。 (2)認識折線統計圖、扇形統計圖；會用條形統計圖、折線統計圖呈現相關數據，解釋所表達的意義。 (3)能從各種媒體中獲得所需要的數據，讀懂其中的簡單統計圖表(例44)。 (4)結合具體情境，探索百分數的意義，能解決與百分數有關的簡單實際問題，感受百分數的統計意義。 (5)在簡單的實際情境中，應用統計圖表或百分數，形成數據意識和初步的應用意識。 例題 　　例 44 用統計圖表達空氣質量變化 2018年7月，國務院頒布了《打贏藍天保衛戰三年行動計劃》。北京市積極響應，聚焦移動源、揚塵源、生產生活源等重點污染源，深化秋冬季大氣污染防治攻堅，人們普遍感覺到霧霾天數明顯減少。請用統計圖表達空氣質量是否得到改善。 【說明】本活動可以通過主題活動的方式進行，讓學生經歷設計方案、收集數據、整理和表達數據的全過程，感受數據蘊含著信息以及如何提取信息，發展數據意識。這樣的活動適合第三學段學生，具體可作如下設計。 (1)自主設計方案。分組實施，啟發學生廣開思路，設計收集數據的方案。顯然方案有多種：把2018年某月的空氣質量情況，先按照污染程度分類，計算各類別的天數，然后分別計算2019年和 2020年這個月份的相應數據，進行比較，判斷空氣質量是否得到改善；也可以先按污染程度分類，分別計算每年中各類別的天數，然后進行比較；還可以計算一年中空氣質量優良的天數并進行比較；等等。引發學生對不同方案展開討論，最終形成小組意見。在這樣的過程中，培養學生的交流能力。 (2)實施設計方案。每個小組按照自己設計的方案，收集、整理和表達數據。學生可以查閱相關圖書，也可以通過網絡查詢，培養獲取數據的能力；對獲取的數據進行整理，嘗試用各種統計圖表達整理后的數據，在嘗試的過程中體會各種統計圖的功能，知道對于這類與過程有關的數據，用復式條形統計圖或折線統計圖表達的合理性；借助統計圖對空氣質量的變化進行分析。在這樣的過程中，培養學生的推理意識，讓學生感悟如何用數學的語言表達現實世界。 (3)組織學生進行小組匯報，分析各自小組的設計思路、數據收集過程、構建統計圖的理由、最終的結論，讓學生體會數據收集、整理和分析的現實意義，提升數據意識。 　　2.隨機現象發生的可能性 (1)通過實例感受簡單的隨機現象及其結果發生的可能性。 (2)在實際情境中，對一些簡單隨機現象發生可能性的大小作出定性描述。 學業要求 　　【學業要求】 1.數據的收集、整理與表達 能根據問題的需要，從報紙、雜志、電視、互聯網等媒體上獲取數據，或者通過其他合適的方式獲取數據，能把數據整理成條形統計圖、折線統計圖，知道條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖的功能，會解釋統計圖表達的意義，能根據結果作出簡單的判斷和預測。能在真實情境中理解百分數的統計意義(例45)，解決與百分數有關的簡單問題。能在認識及應用統計圖表和百分數的過程中，形成數據意識，發展應用意識。 2.隨機現象發生的可能性 能列舉生活中的隨機現象，列出簡單隨機現象中所有可能發生的結果，判斷簡單隨機現象發生可能性的大小。對于現實生活中的一些簡單問題，能根據數據提供的信息，判斷隨機現象發生的可能性。 例題 　　例 45 誰的套圈水平高 為豐富學生的課外活動，學校開展套圈游戲活動。請你比一比，誰的套圈水平高？ 【說明】通過套圈活動，引導學生對數據進行分析，了解百分數可以對隨機數據進行刻畫與表達，認識到百分數可以幫助人們作出判斷和預測，感受百分數的統計意義，培養數據意識。具體可作如下設計。 (1)如表7，先只出示1號和2號同學的套中次數。讓學生經過討論知道，只有套中次數的數據，無法比較判斷。 然后出示1號和2號同學的套圈總次數，再經過討論使學生知道關鍵是要找到套中次數與套圈總次數的關系(命中率)才能進行比較。 (2)出示3號和4號同學的套圈總次數和套中次數，讓學生自主嘗試進行比較，體會統一比較標準的重要性。再通過對不同標準的比較，感受以百分數為標準進行比較既直觀又方便。 (3)深入討論：如果這四名同學再進行一次同樣的套圈比賽，排名還會是這樣嗎？使學生感受百分數對隨機數據的刻畫與表達，體會百分數的統計意義，發展數據意識。 教學提示 　　【教學提示】 數據的收集、整理與表達的教學。從實際情境和真實問題入手，引導學生在條形統計圖的基礎上，進一步學習統計圖；在平均數的基礎上，進一步學習百分數。在這樣的過程中，了解數據的隨機性。 折線統計圖教學要引導學生理解折線統計圖的主要功能是表達數據的變化趨勢。例如，表達中國高速鐵路運營里程的逐年增長、某學生身高的逐年增長、某地區一個月最高溫度的變化等。體會折線統計圖與條形統計圖的區別，知道針對不同問題應選擇合適的表達方式，逐步感知統計學基于合理性的價值判斷準則。有條件的學校可以利用信息技術處理數據、繪制統計圖。 百分數教學要引導學生知道百分數是兩個數量倍數關系的表達，既可以表達確定數據，如飲料中果汁的含量，稅率、利息和折扣等，也可以表達隨機數據，如某籃球運動員罰球命中率、某城市霧霾天數所占比例等。建議利用現實問題中的隨機數據引入百分數的學習，幫助學生了解百分數的統計意義，了解利用百分數可以認識現實世界中的隨機現象，作出判斷、制訂標準(例46)。同時，引導學生了解扇形統計圖可以更好地表達和理解百分數，體會百分數中部分與整體的關系。 隨機現象發生的可能性的教學。引導學生在自然界和生活的情境中感受簡單的隨機現象，如下周三是否是晴天，從家到學校所需要的時間等，知道在現實世界中隨機現象普遍存在；感知隨機現象的基本特征，可能發生也可能不發生，可能以這樣的程度也可能以那樣的程度發生。讓學生感知，許多隨機現象發生可能性的大小是可以預測的，例如，一個袋子里裝有若干不同顏色的球，學生通過有放回地摸球試驗記錄，感受數據的隨機性，判斷各種顏色球的多與少，發展數據意識。 例題 　　例46 確定五年級學生跳繩達標線 為了促進學校體育活動的開展，五年級學生決定開展跳繩活動，準備確定五年級學生跳繩達標線。請你設計一個確定達標線的方法。 【說明】可以用各種方法確定達標線，但要讓學生知道，實事求是是一個重要原則。對于這個問題，實事求是就是根據五年級學生跳繩的實際情況確定達標線，因此，學生需要收集同學們在規定時間內跳繩次數的數據。例如，在體育課中開展跳繩活動，可以隨機抽取100名學生，記錄這些學生1分鐘內的跳繩次數，然后基于這些數據進行整理、分析、討論，確定比較合理的達標線。 在一般情況下，可以考慮百分數，就是把這100名學生的跳繩次數從少到多排列。例如，選擇第25名學生所對應的跳繩次數作為達標線。引導學生理解，如果選擇這個達標線，那么在現階段，大多數學生(大于或等于75%)都能夠達標，少數(小于25%)沒有達標的學生經過努力也可能達標。在這樣的過程中，讓學生感悟百分數的統計意義，以及對于決策所起到的作用。 教學中，還可以啟發學生結合語文課的學習，嘗試記錄“制訂標準”的研究過程，寫出有自己特色的“小論文”。開展將體育活動、數學研究、語文習作相結合的綜合實踐活動，有助于學生學會交流，提升解決問題的能力。