一道小學(xué)奧數(shù)題思維方法研究

數(shù)學(xué)尋夢人

偶得一題，乃小學(xué)奧數(shù)題也，擦一擦眼鏡，揉了揉眼睛，發(fā)現(xiàn)是不定方程求解問題，限制條件是三個未知數(shù)都是正整數(shù).看問題如何求解，關(guān)鍵有多少個解？ 問題：若1/a+1/b+1/c＝1/8，且a、b、c為不相等的正整數(shù)，求a+b+c的值. 思維突破1.結(jié)果1/8可以化成小數(shù)0.125，利用小數(shù)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)意義是加法運(yùn)算的簡化形式，把它拆解為三個小數(shù)，滿足的條件是化成最簡分?jǐn)?shù)后分子為1.2.結(jié)果1/8利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分子分母都乘n，這樣把n/8n拆解成三個分?jǐn)?shù)的分子都是8的因數(shù)(約數(shù))，都是n的約數(shù)或者都是8n的約數(shù)，約分可滿足分子均為1.則約分后的分母就是所求的正整數(shù)解. 思維方法一：化小數(shù)拆解1/8＝0.125＝0.1+0.02+0.005＝1/10+1/50+1/200則a＝10，b＝50，c＝200應(yīng)該還有更多的拆分方法！ 思維方法二：分?jǐn)?shù)拆解方法一：拆解后分子均為8的約數(shù)1.定8的因數(shù)8的因數(shù)有1、2、4和82.定分子和n三個分子為1、2和4則n為7三個分子為1、2和8則n為11三個分子為1、4和8則n為13三個分子為2、4和8則n為143.求a、b、c的值①當(dāng)n＝7時1/8＝7/56＝1/56+2/56+4/56＝1/56+1/28+1/14因此a＝56，b＝28，c＝14②當(dāng)n＝11時1/8＝11/88＝1/88+288+4/88＝1/88+1/44+1/22則a＝88，b＝44，c＝22③當(dāng)n＝13時1/8＝13/104＝1/104+4/104+8/104＝1/104+1/26+1/13則a＝104，b＝26，c＝13④的結(jié)果同①方法二：拆解后分子均為n的因數(shù)當(dāng)n＝6時，三個分子為1、2和31/8＝6/48＝1/48+2/48+3/48＝1/48+1/24+1/16則a＝48，b＝24，c＝16若n為6的倍數(shù)時均可以拆解成功但結(jié)果為均相同.方法三：拆解后分子均為8n的因數(shù)①當(dāng)n＝10時，三個分子為1、4和51/8＝10/80＝1/80+4/80+5/80＝1/80+1/20+1/16則a＝80，b＝20，c＝16②當(dāng)n＝15時，三個分子為1、6和81/8＝15/120＝1/120+6/120+8/120＝1/120+1/20+1/15則a＝120，b＝20，c＝15③當(dāng)n＝21時三個分子為7、6和81/8＝21/168＝7/168+6/168+8/168＝1/24+1/28+1/21 若問題改為1/a+1/b+1/c＝1/7不定方程的正整數(shù)解會減少嗎？ 不定方程應(yīng)該還有更多的正整數(shù)解解，還有遵循什么特點(diǎn)的解呢？不定方程的正整數(shù)解的求解規(guī)律是什么？問題的本質(zhì)又是什么？因?yàn)椴欢當(dāng)?shù)論很多東西不敢妄言！

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