蜂窩結構的數學原理

官渡之戰

撰文/官渡之戰<div>圖片/部分來自網絡</div> <p class="ql-block">有人對蜂窩不屑一顧，認為它不過是蜜蜂的巢穴，不值得一談。我很不以為然：別小看了蜂窩，它可是蜜蜂王國的“宮殿”，其構筑堪稱鬼斧神工！ </p> <h3 style="text-align: center"><br></h3> 蜂窩又稱蜂巢，它是由許多格子間組合而成的，這種格子間稱為蜂房。本文對蜂窩結構的解析，正是從單個蜂房結構切入的。蜂房主體結構是正六棱柱。入口在下端，是正六邊形；底部在上端，由三個全等的菱形面封閉而成。蜂房的形狀怎么會是這樣？有什么道理？早在公元前三世紀，古希臘數學家帕普斯猜想：在相同的條件下，這種形狀的蜂房用材最省、容積最大。先說主體的截面。 <p class="ql-block">這里涉及多邊形的組合問題。當正多邊形的內角能被360°整除時，多邊形可實現無間隙組合。滿足這種條件的圖形有等邊三角形、正方形和正六邊形，它們的內角分別為60°、90°和120°，都能被360°整除，即六個等邊三角形、四個正方形、三個正六邊形都可無間隙組合（如下圖）。三種圖形在周長相等的情況下，六邊形面積最大。</p> <p class="ql-block" style="text-align: center;">三種多邊形的無間隙組合</p><p class="ql-block"><br></p> 1999年，美國密執根大學數學家黑爾最終給出了證明：將一個平面分割成同等面積的區域，且具有最小周長的幾何圖形，是正六邊形。如此說來，在等量用材的情況下，正六邊形可以比等邊三角形和正方形具有更大的面積。蜂房采用正六棱柱結構，使用的材料最少、空間利用最大。再說蜂房的底部。它的底部不是平面，不是曲面（凹面或凸面），也不是錐體（圓錐或棱錐），而是由三個全等的菱形面封閉而成的。 1712年，法國天文學家馬拉爾迪經測量指出，菱形面相鄰的兩個角分別是110°與70°，他猜想蜂房底部取這樣的結構，在相同容積下用材最少。后來又提出這兩個角分別是109°28'與70°32'，如圖3。但他沒有給出數學證明。 <h3 style="text-align: center">蜂房的底部結構</h3> 1743年，英國數學家馬克勞林使用初等幾何方法作出了證明：當菱形面相鄰兩角分別是109°28'16" 和70°31'44"時，在相同的容積下，使用材料最少。蜂房無論是主體還底部，其結構都切合了數學原理，精巧絕倫！是什么力量驅使蜜蜂完成了如此絕妙的構筑呢？有人把它說成是上帝的杰作，其實這種說法是蒼白無力的。事情往往就是這樣，對某事物難以解釋時，常常把它歸于上帝的安排，連著名物理學家牛頓也不免落于此臼。晚年的牛頓陷于神學，他把萬有引力的初始動力歸于上帝的第一推動，就屬于這種情況。當然，瑕不掩瑜，這無損于牛頓一生的光輝。 <h3 style="text-align: center">牛頓</h3> 那么，到底如何理解蜂窩這種結構的由來呢？黑格爾有句名言：凡是存在的都是合理的。我以為，這里的“合理”不能從“公平正義”的角度去理解，而應理解為“規則”—— 宇宙規則。 <p class="ql-block">如果說有所謂的“上帝”，那么，“上帝”就是人格化了的“宇宙規則”，正是這種“規則”為宇宙的“行為活動”作了安排。</p> 宇宙無疑有很多規則，而終極規則是數學！古希臘的畢達哥拉斯學派認為：“世界本質上是由數學構成的”。數學是自然界的重要組成部分，它賦予了物理世界基本的結構，這已成為科學界的一種共識。正如恩格斯所言：任何一門學科，如果能夠用數學來描述，那么它才能說是科學的。反過來說，一門學科如果不能用數學來描述就不是科學，可見，對物理世界最有力的解讀在于數學。數學是人類的發明嗎？如果把它理解為“數學原理”，那么它只能被發現，而不能被發明，數學原理的存在是先天的，它不依賴于人類意識。如果把數學理解為“知識體系”，那么可以說“數學是人類智慧的結晶”，但這也不意味著人類創造了“數學原理”，而是指思維對數學發現作了概括，形成了“數學體系”。可以這樣說，整個宇宙都是在用數學說話。1974年，位于波多黎各的阿雷西博天文臺向星外文明發射的無線電信息，就是以二進制編碼發送的，因為他們認為只有數學才是宇宙不同星球間的共同語言。至于星外文明是否真的存在，對方是否真的能接收到信息，另當別論。 <p class="ql-block">根據石化資料，蜜蜂的存在已達億年之久，遠早于人類。且不說蜜蜂不知道數學，就連早期的人類也不知數學是何物。蜜蜂的筑巢能力是在長期的進化過程中形成的，這可稱作“本能”，而這種“本能”則是在數學的制約下形成的。因為數學制約著宇宙，任何生物在其進化過程中都不可能逃脫它的制約。</p> 蜂窩并非沉默者，它在用數學語言訴說著自身的卓越。后記 <p class="ql-block">對一定周長下正三角形、正方形及正六邊形面積的比較，本文未展開說明，我的大學同學李偉君先生看了后，對此發生興趣，與我作了交流，他給出了推算。現將其附于文末，供有興趣的讀者閱覽。借此機會，向偉君先生致謝！</p>