中國余數定理：從“物不知數”到“大衍求一術”

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余數定理對于一般人來說，可能有些陌生，但提起韓信點兵法，知道的人就多了，小學奧數題中也會碰到這樣的題。中國余數定理是老祖宗的研究成果，曾經領先世界一千多年，是國際數學界命名的唯一冠以“中國”的數學定理。以下試從非專業角度作一解讀。 * * * * * * * * * * 1801年，意大利天文學家皮亞齊發現了一顆小行星，命名為谷神星，但因耽誤了觀測，失去了這顆星的軌跡。數學家高斯通過以前的觀測數據，計算出谷神星的運行軌跡，成功地找到了谷神星。高斯的計算依據的是他剛剛發表在《算術研究》一書中的同余理論。 此時的高斯并不知道，1400年之前，在地球的另一邊，已經有人提出同余問題，并推導出解決同余問題的定理，只是沒有給它命名。這就是“物不知數”問題，記載在中國南北朝時期的數學專著《孫子算經》中。 19世紀中葉，英國傳教士把《孫子算經》中“物不知數”問題的解法帶回歐洲。西方數學界發現，中國一千多年前的解法與高斯得出的同余定理相合，因而將其定名為“中國余數定理”（舊譯“中國剩余定理”）。由于定理最早的提出者是孫子，又稱之為“孫子定理”。 “物不知數”問題出自《孫子算經》下卷26題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？答曰：‘二十三’”。 這道題的意思是，一堆東西，比如蘋果，3個3個一數剩下2個，5個5個一數剩下3個，7個7個一數剩下2個，問這堆蘋果有多少個？ 這個問題看起來不復雜，但《孫子算經》給出了一個有些燒腦的解法： 術曰：三三數之，剩二，置一百四十；五五數之，剩三，置六十三；七七數之，剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。 上面的解法是說，根據本題給出的三個條件分別得到140、63和30三個數，三數相加等于233，再減去210，最終得到23這個答案。 這些數是怎么得來的，沒講，讓人覺得很玄妙。中國古代師傅教徒弟，道理經常不說透，讓徒弟自己悟出來。這時是公元5世紀。 到了13世紀，南宋數學家秦九韶把《孫子算經》中的這個問題拿出來重新研究，把這類問題的解法研究透了，并定名為“大衍求一術”，寫入《數書九章》的數學專著中。 當時有好事者將大衍求一術求解“物不知數”問題的方法簡化成四句詩： 三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五使得知。 下面試作解讀。 《孔子算經》中說的“物不知數”，就是未知數，在本題中相當于被除數；三三一數，五五一數，七七一數，這里的3、5、7相當于除數，剩幾就是余幾，即余數。這里的已知條件是余數和除數，求被除數。 回到那首詩，它實際上是除數為3、5、7，余數為任意數的“物不知數”題的通解口訣（下稱“四句訣”）。中國古代數學家發現，一個數分別被多個數相除，已知它們的余數，這個數一定是一個更大的除數的余數。此題中更大的除數，就是四句訣最后一句中的“百零五”，即3、5、7的最小公倍數105。前三句中的“七十”、“廿一”、“半月”，即70、21、15，是三除數中每兩個除數的公倍數。計算求解時，三個數先分別與除數3、5、7（“三人”、“五樹”、“七子”）的余數相乘，然后再相加。在“物不知數”的例題中，余數分別為2、3、2，計算過程如下：x=2×70+3×21+2×15=233 得數233是符合題意的其中一個數。因為它又是除數105的余數，所以233還要減去兩次105，得到23。23是符合條件的最小正整數解。 這里出現一個疑問：四句訣中給出的21和15分別是3與7的乘積和3與5的乘積，而70卻不是5與7的乘積35，而是35的2倍。此處的不一致，是因為這里的“70”隱含了運算中的一個數--乘率，實際應表述為“35×2”，乘率為2。也就是說，對于一個數除以任意三個數的余數題，大衍求一術的通解公式可以這樣表述（設三除數為a、b、c）：x=除a的余數×b和c的積×乘率1+除b的余數×a和c的積×乘率2+除c的余數×a和b的積×乘率3。 以上公式可以看作是三個部分相加，每個部分由3個除數之一的余數乘以另兩個除數的乘積，再乘以乘率組成。此公式可擴展適用于有更多除數的余數題。 大衍求一術最重要的貢獻就是乘率的計算法。前面提到，四句訣中的“70”包含了乘率“2”，這個數是怎么得來的？ 這個乘率要依b和c的積35除以3的余數而定。35除以3，余2。這時要找到一個數，乘以余數2后，滿足除以3余1，這個數就是乘率。2乘以余數2等于4，4除以3余1，滿足條件，乘率就是2。而a和c的積是21，21除以5余數是1；a和b的積是15，15除以7余數也是1。由于余數為1，乘率也為1，計算中忽略不計，后兩個的乘率在四句訣中沒有留下痕跡。 “物不知數”題在小學奧數題中經常出現。常見的題型有韓信點兵法，也是已知幾個幾個一排余幾，求總數。但小學奧數題的解法均不用大衍求一的解法。像《孫子算經》中的這道題，奧數的解法簡單多了：5個5個一數余3，最小的數是5+3=8，8同時滿足除以3余2，但不滿足除以7余2。8加上15（3×7的積）是符合前兩個條件的第二小的數，得到23，23同時滿足除以7余2的第三個條件。假如23不符合第三個條件，則23還要再加上15，繼續在滿足前兩個條件的數的范圍里去找符合第三個條件的數。這種解法叫逐步滿足法。 遇到再復雜一點兒的題，奧數解法中有不定方程解法，上題列方程（a、b、c為三除數的商）如下： 3a+2=5b+3=7c+2a、b、c最小的一組正整數解為：a=7b=4c=3將a=7代入3a+2，得到23。 看起來，奧數的解法簡單，大衍求一的解法繁瑣，為什么呢？ 這是因為，奧數只是挑選出不用大衍求一術就能解的題，而大衍求一術針對的是天文歷法方面的計算，數字很大，除數多達10個以上，一般無法簡單地用逐步滿足法或方程解法得到結果。大衍求一術是求解同余問題的通解法。 下面這道題，就只有用大衍求一的方法去解。 今有數不知總，以5累減之剩3，以715累減之剩538，以247累減之剩174，以391累減之剩109，以187累減之也剩109，問總數若干。（得數：5200018）[清]黃宗憲：《求一術通解》 上題中的除數（“累減之”的意思是“除”），其中之一化簡后轉化成除以143余108。由于數字較大，無法直接看出108乘以幾（乘率）滿足除以143余1，此時就需要用大衍求一術中的輾轉相除法：將143與108相除，108與相除后的余數再相除，前面的余數與后面的余數再相除，直到最后得到1時再反推出等式1=108×49-143×37，此式等同于108×49÷143=37……1，符合余1的條件，因此得出乘率為49。有了乘率，代入前面提到的大衍求一術的計算公式就可以計算出結果了。 這個解題過程就是在“求一”。 前文中提到的人物： 孫子是南北朝時期的人，生平事跡未見記載，和《孫子兵法》的作者同名，時代不同。 宋人秦九韶研究數學是業余愛好。他年輕時通過科舉考試出仕，長期擔任地方官，《數書九章》一書是他在為父守孝期間完成的。 瑞士出生的數學家高斯一生心無旁騖，潛心于數學研究，成果斐然。他24歲時用數學方法找到谷神星，30歲被德國哥廷根大學看中，聘請為教授和天文臺臺長，直到去世。 注：本文中的“除數”，在同余理論中稱為“模”（mod)。同余符號為“≡”。比如前文中的23除以3余2，用同余概念表達為：23和2對于模3同余，意思是23和2除以3，余數相同(均為2)，記作：23≡2 (mod 3)。

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