2021年惠濟區中小學作業設計優秀案例推介一（初中數學）

惠濟教研

北師大版九年級上冊第四章《圖形的相似》作業設計惠濟六中劉峽、楊艷霞、蘇靜、崔靈恩、趙敏、張盼盼。 一、單元作業概況 根據數學課程標準對數學學科的要求，在細化解讀初中數學學科課程標準，深入理解數學學科核心素養的基礎上，提煉概括單元大概念，結合學生的認知發展水平，梳理了九年級數學上冊第四章《圖形的相似》的知識內容，將知識進行整合歸類，科學設定學習目標，通過改編、原創等命題方法，精心設計本章單元復習課后作業。題目設計以實際問題情境為載體，題型多樣，靈活性較強，注重實踐性和創新性。 作業共分為三個層次：基礎鞏固題、綜合應用題和綜合實踐創新題。基礎鞏固題主要考查本章基礎知識：相似三角形的判定、相似三角形的性質及位似圖形的性質，注重發展學生的推理能力，關注學生分析問題、解決實際問題的能力；綜合應用題主要考查相似三角形與其他學科知識的綜合應用，注重數學思想方法的滲透，提高學生的應用意識并加強學生對跨學科知識間的聯系的重視；綜合實踐創新題通過設計方案的問題提高學生的實踐能力和創新能力。 二、案例正文 （一）學科核心素養細化 1.課程標準要求：對于北師大版九年級上冊第四章《圖形的相似》課程標準內容給出了以下要求： 　　2.單元學習目標： 單元大概念：相似是指兩個圖形邊角之間的一種特殊數量關系。 課標的指引下，在圍繞教材內容，結合學情，以“探索、發現、確認、證明圖形性質”為主線，培養學生建立空間觀念，培養幾何直觀，發展推理能力為總目的，設置以下4條目標： (1)在具體問題情境中探索并歸納比例的基本性質、線段的比、成比例線段的概念，逐步培養學生數學抽象能力；在方格紙中，通過測量、計算等活動了解平行線分線段成比例，能利用平行線分線段成比例求線段的長，不斷加強學生邏輯推理能力和數學運算能力。 (2)通過具體實例認識圖形的相似和位似圖形，探索其相關概念和性質，通過說理，逐步培養學生邏輯推理能力；能利用位似的性質將一個圖形放大或縮小，會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題，在研究圖形變化與坐標變化的過程中，發展學生直觀想象的能力。 (3)探索并歸納相似三角形的判定定理，綜合運用三角形相似的判定定理和性質定理解決問題，在說理的過程中，進一步強化推理過程表述的邏輯性；通過測量旗桿的高度，將實際問題抽象成數學問題，在解決問題的過程中培養學生數學建模的能力和應用意識。 (4)通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割，能分享生活中黃金分割的例子，在應用黃金分割解決實際問題的過程中，逐步發展學生的應用意識、建模意識和邏輯推理能力。 （二）單元大概念架構： 1.知識結構體系 　　2.思維提升及學科素養培養 　　3.教學評一體化系統 　　（三）整體教學流程透視 1.課時安排：教材中本單元共設置了8節課17課時，其中第5節《相似三角形的判定定理的證明》3課時帶*不作要求，去掉總復習1課時，共有13課時。本章與生活密切結合，所以將本章內容稍作調整，在省去第5節的基礎上，添加“活動探究和綜合實踐”，并將原第6節《利用相似三角形測高》調整到綜合實踐部分。整合后共計8節課，15課時。 　　2.教學流程：本章的15課時按照學習內容分為概念學習、證明推理和活動探究三個主題，對于不同的主題，學習活動安排如下： 　　3.教學活動：本章活動設計以“形”為載體，通過觀察、測量、計算等活動探究相似圖形的性質，得出結論，構建出“數”的問題，克服了就“形”論“形”的局限，既有利于學生通過“形”的直觀感知，加深對“數”的認識，通過數來刻畫形的特點及平面圖形之間的相似關系，又進一步滲透了數形結合的數學思想。之后應用探究所得解決生活中的問題，感受學習相似三角形知識的必要性，在這個學習的過程中，提高了學生的幾何直觀和推理能力，也逐步培養了學生的模型觀念和創新意識，并在學習探究的過程中不斷積累發現問題，提出問題，抽象出數學問題，建構數學模型，綜合運用所學知識解決問題的活動經驗。 新知探究環節是一節課的重要組成部分，這部分教學活動主要圍繞教師的有效組織和學生的自主學習開展，不同的課型有不同的方案設計，大致活動設計如下： 　　4.思維進階：在學習的過程中，學生思維能力表現如下： 　　（四）作業具體內容設計 【基礎鞏固】 1.數學課上，老師講解“相似三角形”之后，老師給聰聰出了這樣一道題：“如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BA延長線上一點，CE與AD相交于F.與△EBC相似的三角形有( )（寫出一個即可），依據是 ( ) 。 　　設計意圖：本題基于實際問題情境，以貼近學生生活的問題為切入點考查相似三角形的判定方法。答案具有一定的開放性，關注學生文字語言與圖形語言之間的轉換能力，鼓勵學生發散思維。在審題、分析題意、結合圖形解決問題的過程中，培養學生的邏輯推理能力。 2.體育課時，聰聰同學跳起來把一個排球打在離地2m遠的地上，然后反彈碰到墻上，他跳起擊球時的高度是1.8m，排球落地點離墻的距離是6m，若球一直沿直線運動，球能碰到墻面離地多高的地方？ 　　變式：若已知BD：BO=3:1，則CD的長度為 ( ) 。 設計意圖：本題主要考查相似三角形的判定及性質。要求學生能從生活問題中抽象出圖形相似的問題，通過分析相似三角形中的數量關系建構方程模型解決實際問題，關注學生分析問題的能力和數形結合能力，培養學生幾何直觀能力和應用意識，強化學生邏輯推理能力和數學運算能力。 3.晚上回家，聰聰坐在書桌前寫作業，書桌正上方的燈泡（看作一個點）發出的光線照射到桌面后在地面上形成圓形（如圖所示）。已知桌面直徑為1.2米，桌面離地面1米.若燈泡離地面3米，求地面上陰影部分的面積？ 　　設計意圖：本題主要考查位似圖形的性質。要求學生能從具體情境中抽象出位似圖形，將實際問題轉化為數學問題，關注學生解決實際問題的能力，培養學生應用意識和模型思想，發展學生的抽象能力和數學運算能力。 【綜合應用】 4.聰聰參加的數學興趣小組在閱讀數學史時發現這樣一則故事：大約在兩千四五百年前，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗（如圖1）．并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．物理課中，在學習《光的直線傳播》的時候通過實驗探究發現小孔成像有以下結論：結論1：當物距等于像距時，呈倒立等大實像；結論2：當物距小于像距時，呈倒立放大的實像；結論3：當物距大于像距時，呈倒立縮小的實像。數學興趣小組發現利用數學知識可以解釋以上問題。 　　（1）如圖1，利用數學中所學的哪個知識點可以解釋結論“影與物一樣長”的正確性：( ) 。 （2）如圖3，若像距是物距的2倍，則像的高度CD和蠟燭高度AB的關系：( ) 。 （3）如圖3，請用數學知識證明第（2）問結論2的正確性。 （4）如圖4，當物距大于像距時，一支燃著的蠟燭高27cm，通過移動蠟燭的位置，若想讓蠟燭的像高是9cm，我們需要如何操作？ 設計意圖：本題主要借用物理中小孔成像實驗結論，考查學生對相似三角形的性質和判定的綜合應用，體現跨學科之間的聯系，能用相似三角形的知識建立數學模型解釋現實生活問題，提高學生的應用意識，要求學生有較強的數學閱讀理解能力作為支撐。數學思想方法上，注重類比思想和數形結合思想的運用，培養學生的幾何直觀和數學建模思想。 【綜合實踐】 5.數學興趣小組還發現：在人體下半身與身高的比例上，越接0.618，越給人美感，遺憾的是，即使是身體修長的芭蕾舞演員也達不到如此完美。請為自己的媽媽設計一雙高跟鞋，讓媽媽的身材比例看起來更接近黃金分割比。 設計意圖：本題以“為媽媽設計高跟鞋”問題為載體，考查黃金分割和黃金比的概念，感受數學文化與數學美；鍛煉學生的動手實踐能力，提高學生的審美意識，滲透人文教育。 6.周一升旗時，數學興趣小組的同學突然產生了一種想法，想要知道學校旗桿的高度，于是他們來到旗桿前面，聰聰問：“這個旗桿有多高呢？”請你利用數學知識，設計一種方案測量學校旗桿的高度 (畫出示意圖)，并說明理由。 　　設計意圖：本題通過實際測量旗桿的高度，綜合運用三角形相似的判定定理和相似三角形的定義解決問題，加深對相似三角形的理解和認識；在小組合作活動過程中，積累數學活動經驗，鍛煉學生的語言表達能力、動手實踐能力、團隊協作能力及創新能力和應用意識；在解決問題的過程中發展學生的數學抽象能力、數據分析觀念、數學建模思想。 （五）作業質量效果評估 作業題目屬性統計表： 　　作業題目具體數據分析： 　　1.作業實施效果及存在的問題 基礎題目整體效果較好，考查本章知識的基礎性問題，95%的學生能夠獨立完成。學生能夠讀懂題意，從具體情境中抽象出數量關系，分析提取有效信息，能夠證明三角形相似、利用相似三角形的性質解決問題。但是個別學生的知識遷移能力較弱，部分學生不能靈活運用所學相似三角形的知識解決變式問題。 　　綜合應用問題，難度中等，具有一定的深度，80%的學生能夠完成，10%的學生需要借助小組合作完成，完成時間為8分鐘。重點是讓學生體會學科之間的聯系，利用數學中相似三角形的知識解釋物理實驗結論。本題大部分學生能夠發現圖像中所隱含的數學信息，提煉題目中的數量關系；將實驗結論與三角形全等、相似的知識聯系起來，進行知識之間的遷移，利用數學知識解釋實驗結論。但由于題目信息量較大，部分學生難以從中獲取有效信息，進而轉化為數學問題。 【學生案例】 　　綜合實踐類題目，第5題為媽媽設計一雙高跟鞋，與生活聯系緊密，學生能夠獨立完成，計算出符合要求的高跟鞋的高度，75%的學生能夠完成。但由于考慮到實際高跟鞋的高度不能過高，需要對比值進行調整，部分學生在此過程中出現了困難。第6題設計了測量學校旗桿的高度設計方案問題，需要學生對本章知識進行整合建構，具有一定的深度和難度，操作過程需要通過小組合作完成，整體效果次之。 2.作業設計的質量和實施效果的反思 (1)注重知識的形成過程。在日常教學中，要讓學生經歷知識的形成過程，注重提高學生知識的遷移能力。在作業設計方面，要以數學課程標準為依據，對教材再創造，根據班級學生實際情況，選擇貼近學生實際生活的教學素材，適時調整作業設計預案，讓作業設計收到更好的效果。 (2)貼近生活，鼓勵探究。對于綜合實踐性問題的設置要具體可操作，能夠讓學生真正參與進去，在日常教學中，設置相應的綜合實踐活動，將數學課堂延伸到課外，通過綜合實踐性作業，積累學生的活動經驗，展示思考過程，交流收獲體會，激發學生的創造潛能。 (3)提高學生數學閱讀能力。加強數學課程內容與其他學科知識間的聯系，減少機械性的作業。培養學生收集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流、合作的能力。 三、作業案例特色說明 1.作業內容知識涵蓋全面，重點關注綜合實踐 題目設計基于問題解決，作業內容涉及到九年級上冊數學第四章圖形的相似的全部知識，按照學生的認知水平和能力指向，以實際生活中聰聰同學一天的行程軌跡為載體，設置相應的問題情境，問題難度具體一定的梯度，關注知識間的前后聯系及數學思想方法的運用，綜合解決實際問題的能力。 2.作業形式多樣，難度適宜，突出學生的主體地位 結合九年級學生的認知發展特點，設計分層作業，主要包括基礎性問題、應用性問題及實踐活動問題。學生需要從具體問題情境中獲取有效信息，經歷閱讀、計算、識圖、畫圖、測量、建模等過程嘗試解決問題，在此過程中鼓勵學生主動思考和相互合作，培養學生分析解決問題能力和自主學習能力。 3.作業體現創新性，注重學生數學思想方法的遷移能力 通過精心設計問題鏈，實現學生數學能力的逐層提升，比如：由基礎題基本知識的考察到綜合應用題中數學模型的建立，再到綜合實踐中通過小組合作完成實踐活動。關注解題方法的基礎上，注重學生對三種幾何語言的轉化及從特殊到一般、數形結合、數學建模等數學思想方法的應用，進而提高學生的應用意識和創新意識。 本單元的特色作業是第三部分綜合實踐活動題，主要包括兩個綜合實踐活動，分別為“為媽媽設計高跟鞋”和“利用影子測量校園旗桿的高度”，學生通過動手測量、記錄數據、分析數據、實踐反思的過程感受數學知識的應用性，在參與活動的過程中感受到數學知識的妙用，從而培養學生學習數學的興趣。 (1)綜合實踐一具體活動過程 理論依據:依據黃金分割及相似三角形的相關知識，設計一雙高跟鞋讓媽媽的身材比例看起來更接近黃金分割比。 實施過程:測量媽媽的整體身高及肚臍以下部分的高度，記錄相應數據；通過黃金分割比計算高跟鞋的高度；分析數據，結合生活實際，探究其合理性。 　　實踐反思:在實際操作過程中，我們發現通過黃金分割比計算出的高跟鞋的高度與實際生活中常見的高跟鞋高度存在偏差，為了體現高跟鞋的舒適度，在接近黃金分割比的情況下，不斷修正比值，計算出更合適的高度。 (2)綜合實踐二具體活動過程： 理論學習:小組內相互討論，利用相似三角形的知識測量旗桿的高度的原理及計算方法，深入學習相似的相關知識。 制定方案:為了研究影子在測量高度時的妙用，結合數學知識相似，選擇可以進行操作實施的方案，畫出相應的模型進行分析。 實施方案:根據選定模型，小組討論實施過程中的具體測量數據，以及測量方法。提前準備好測量工具。 　　六人一組，按照制定的實施方案進行實際測量，測量同時記錄數據，注意思考與總結實踐過程中的具體實施過程與理論知識的不同之處。 記錄數據:小組合作，在測量完成的同時，及時記錄測量的數據。 　　分析數據:利用數學中的公式和測量所得的數據，計算出物體的高度，并對幾次測量的結果進行求平均值，對測量的數據和結論進行簡單的分析。 　　實踐活動反思:實踐才會更加理解知識的本質，也更能體會應該盡量多的將自己所學知識應用到生活中，學習的課本知識和生活中的影子結合，能夠幫我們取得意想不到的成果。實踐能讓我們發現自己的不足，更能讓我們在問題中不斷的成長。在以后的學習中我們會認真的學習，多用所學知識解決生活中的問題，在實踐中不斷的提升自己。 在雙減政策下通過設置有效的分層作業，滿足不同層次學生的需要，作業的設計注重對學生數學思想方法的滲透及數學核心素養的培養，讓學生能夠更多地經歷知識的形成過程，真正體驗數學的樂趣，讓作業效果發揮到最大化。 教研員點評（兌繼華）： 此項作業設計整體來說比較優秀，具有一定的借鑒價值。 首先，在單元整體分析方面，能夠基于課標對整個單元的目標進行規劃設計。從目標中可以看到對學生知識、能力及素養的培養與提升；能夠根據本章節學習內容的特點，進行單元整合，挖掘教學內容的共性與區別，分類進行教學流程規劃。 其次，在作業設計方面，案例中題目背景以聰聰同學的視角觀察生活中的問題，生活情景中既承載了對本章知識的考查，也關注了學生閱讀能力、分析問題能力的考查，既檢測了學生所學知識，也向學生滲透要注意觀察生活的意識，體現了情境性與應用性。 第三，在作業形式方面，既有書面作業，也有方案設計與綜合實踐類作業，強調了學以致用的實踐能力，關注了學生的應用意識，提升了學生應用所學知識解決問題的能力。具有較強的應用性和創新性。