在解決問題中不斷提升思維能力——“我們一起去游園”教學(xué)與思考

徐睿

北師大版三年級下冊《數(shù)學(xué)好玩》單元的第一節(jié)課“我們一起去游園”是屬于“尋找最優(yōu)方案”的內(nèi)容（即“優(yōu)化”），在多樣化選擇的背景下，問題最終回歸到“哪種方案最省錢？”教材引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用列表格的策略將一般可行的方案都找到，然后對比出最省錢的方案，旨在引導(dǎo)學(xué)生有條理地思考，提高分析和解決問題的能力。 在學(xué)習(xí)的過程中是否需要每種問題都讓學(xué)生按部就班的列表呢？是否存在“一般方法”可以提高解決問題的效率，能否在學(xué)習(xí)過程中對學(xué)生進(jìn)行必要的指導(dǎo)和總結(jié)呢？學(xué)生們在“霧里看花”終究有看不明白的地方，教師幫助他們“撥開云霧”后學(xué)生是不是就能夠更加清晰地掌握此類問題的思路和方法。我認(rèn)為其實(shí)是可以的。所以，在執(zhí)教本節(jié)課時(shí)，除了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的“列表”訓(xùn)練之外，我又進(jìn)行了相應(yīng)的拓展。使學(xué)生逐步感受到解決問題也是“有跡可循”的。 一、租車問題（單價(jià)固定） 在整理租車方案時(shí)引導(dǎo)學(xué)生有序思考，比如：小車數(shù)量由4到3、2、1、0的過程，讓學(xué)生感受到尋找方案時(shí)要不重復(fù)不遺漏。經(jīng)過對比得出方案四最省錢，進(jìn)而繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最省錢的策略要滿足： 盡量選大車同時(shí)讓車上的空座位盡可能少。因?yàn)榇筌嚨淖饨鹫酆系矫總€(gè)乘客身上的單價(jià)最便宜，同時(shí)有空座位表示就有浪費(fèi)，當(dāng)空座位越少，浪費(fèi)的錢數(shù)也就越少。（即：單價(jià)便宜且不剩余）確定了思路，針對此類問題能否直接列式計(jì)算出來呢？ 在此處對學(xué)生進(jìn)行方法指導(dǎo)：租車方案的選擇是以人數(shù)（或座位數(shù)）為標(biāo)準(zhǔn)，確定之后再去計(jì)算租金，即以人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)列式為： （）×18＋（）×12=48 盡可能多選大車，所以在試數(shù)的過程中先確定（）×18≤48，括號里最大能填2，再加上12，即（ 2 ）×18＋（ 1 ）×12=48，直接得到最優(yōu)方案。學(xué)生在試數(shù)的過程中其實(shí)就反映了多樣的方案選擇。變式練習(xí)一：有了之前的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生們知道應(yīng)該“盡量選擇大船，同時(shí)讓空座位盡可能的少”。根據(jù)人數(shù)列式為：（）×8＋（）×5=133， （）×8≤133，括號里最大能填16， 得到：（ 16 ）×8＋（ 1 ）×5=133， 即租16條大船和1條小船應(yīng)該是最便宜的方案。 租金為：16×9＋1×6=150（元）變式練習(xí)二：針對這道題目，首先分析有51＋2=53（人）要坐船，如果想直接找到最優(yōu)方案，可以列式： （）×6＋（）×4=53， 在試數(shù)的過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)沒有正好等于53的搭配，只能在保證“盡量租大船，同時(shí)讓空座位盡可能少”的前提下，尋找：（）×6>53，括號里最小能填幾？ 即只租9條大船，不租小船。然后可以通過列表進(jìn)行租金的比較。通過對比，找到最優(yōu)方案為只租9條大船，租金最少。 上述方法針對于簡單的兩種選擇情況下都是適用的，但是當(dāng)選擇超過兩種時(shí)，就需要具體情況具體分析了。變式練習(xí)三：此題目有三種選擇可以搭配，與之前只有兩種方案的選擇思路是否一樣呢？最直觀的方式就是利用列表來比較：在表格中發(fā)現(xiàn)：方案二中租5輛A車和1輛B車時(shí)，雖然會(huì)空余2個(gè)座位，但最省錢；方案四租4輛A車、2輛B車和1輛C車時(shí)，座位正好，但是租車的價(jià)錢比方案二貴10元。為什么會(huì)這樣呢？之前我們找到的最優(yōu)租車方法是盡量選大車同時(shí)讓車上的空座位盡可能少，方案四符合沒有空座位，卻不是最省錢的。深究其中的原因是這種方案在“盡量選擇大車”時(shí)沒有方案二選擇的大車數(shù)量多，導(dǎo)致雖然方案二中有多余的座位，但是仍然最便宜。 二、購票問題（單價(jià)會(huì)變化） 分析：票價(jià)有三種，如果成人去買團(tuán)體票時(shí)，每人節(jié)省50－30=20（元），兒童去買團(tuán)體票時(shí)，每人多付30－25=5（元），所以在購票時(shí)要盡可能多的讓成人去買團(tuán)體票，如果成人不夠10人，就可以用兒童去“湊10”。根據(jù)題意可以將10人的團(tuán)體票分為4位老師和6名學(xué)生一起來買，剩余的兒童都買兒童票。 即：（4＋6）×30＋（25－6）×25=775（元）。 那么，這種方案中雖然4位成人的票價(jià)相對便宜了，但是有6名兒童的票價(jià)反而升高了，所以這個(gè)方案是不是最便宜的呢？我們可以把其他的方案也羅列出來對比一下。 （1）如果成人只購買成人票，兒童只購買兒童票的話，算得的票價(jià)為：4×50＋25×25=825（元）。比購買團(tuán)體票要貴。 （2）如果讓兒童去買團(tuán)體票的話，相當(dāng)于每名兒童的票價(jià)都貴5元，更加不劃算。 綜合上述，讓成人和兒童湊夠10人去購買“團(tuán)體票”的方案更省錢。變式練習(xí)：（1）10個(gè)大人正好可以直接購買團(tuán)體票，兒童分別購買兒童票。 即：10×12＋8×8=184（元） （2）8個(gè)大人和2名兒童湊成10人的團(tuán)體，其他兒童買兒童票。 即：（8＋2）×12＋（10－2）×8=184（元） 此類題型的最優(yōu)方案與成人和兒童的數(shù)量有關(guān)系，當(dāng)購買團(tuán)體票中“成人共優(yōu)惠的價(jià)錢”比“兒童一共多付的價(jià)錢”還少時(shí)，就沒有必要購買團(tuán)體票了。這里需要學(xué)生對于數(shù)量關(guān)系具體來分析，或者多列出幾種方案進(jìn)行比較。 在確定最優(yōu)方案時(shí)，可供選擇的種類越多，需要學(xué)生綜合考慮的方面也就越多。對于難度較大的問題探究時(shí)，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)往往是膚淺的，教師更要有針對性的進(jìn)行指導(dǎo)和總結(jié)，為培養(yǎng)學(xué)生觸及問題本質(zhì)的持續(xù)思考做鋪墊，讓學(xué)生的思維能力得到升華，才能學(xué)會(huì)透過問題探究出知識(shí)的本質(zhì)。