《種子課2.0——如何教對數學課》（俞正強著）書摘

雪歌

??學生在學習數學時往往要經過幾個坎：從正數到負數，從整數到分數，從算術到代數，從單維空間到多維空間。老師把握好這幾個節點，幫助學生順利地通過這幾個坎，學生學習數學就不會遇到更多的困難，就能順利地進行。 ??但是有些老師卻不是從培養學生的思維出發，而是強調掌握數學知識和做練習題。特別是在應試教育中，甚至提出數學題要“一看就會，一做就對”，似乎想把天下的試題都讓學生做一遍，以應對考試。這不僅增加了學生的學業負擔，而且把學生變成做題的機器，完全不符合數學教學的目的，違背了數學教學的規律。因此，推進素質教育，數學教學就應還原它的本質，教師不僅要讓學生學會練什么，更重要的是要讓學生知道為什么，也就是要把數學的重要節點、數學的邏輯教給學生。 ??我們的數學課，首先要教對。學生的許多不良學習狀況的出現都是因為我們沒有教對，即錯的教一定生出更多錯的學，而我們老師卻不知道自己沒有教對。 ??對方程，主要認識兩個點：一個認識點是什么是未知數，這個點在“用字母表示數”中解決；另一個認識點是什么是等式，這個點應該在“認識方程”中解決。 ??等式須有一個等量，等式所表示的關系我們叫等量關系。 ??數量關系中的三個量之間是互逆的。 ??等式表示兩個式子相等，這種關系叫作等量關系。 ??與數量關系中互逆性有別，等式中遵循的是守恒，即等號兩邊同時增加、減少，或同時擴大、縮小，相等關系是不變的，即平時所謂的等式性質。 ??這種對等式的認識混淆了算式和等式之間的差別，只得了其形而未得其神，給學生們用方程解決問題帶來諸多困惑。 ??得到算式與得到等式的差別，學生們是一定可以體會的。 ??我們所接受的數學知識，是人類對世界進行數學思考的末端成果，而這個數學思考過程的起點或其發生進程中的內容卻被人想當然地替代了，這種替代所蘊含的錯誤給學生的數學學習帶來困難。 ??在小學階段“數與代數”這一領域內容中，有兩節課教得對與否至關重要，即以上所提到的兩節課——“方程的認識”和“用字母表示數”。這兩節課上對了，學生的數學學習特別是用方程解決問題中的不會設、不會列這兩個問題，就會得到基本解決。而這兩節課，是這一知識內容的種子課。 ??要把數學教對，首先要有一些對的認識。認識主要包括以下幾個方面：1、知識是有類型的；2、目標是有層次的；3、數學學習是兒童在完成；4、課業負擔的減輕，一定要在教學方法上下功夫。 ??歸根結底，教學本質上也是一種關系，是師生之間的關系。 ??上課前，一定要弄清楚，你上的內容，到底是屬于小朋友的“明白”，還是他的“空白”。 ??人類的知識分為兩類：第一類是“自然早于人”，這類知識存在于自然界中，自然顯現，是人對自然的解讀；第二類是“人一定早于科學”，這類知識是自然界中沒有的，由人類根據需要，用語言規定出來。對第一類知識，我們用教書的第一種類型——改造型教學；對第二類知識，我們用教書的第二種模型——灌輸型教學。 ??改造的前提是讓學生成為我們的朋友，那他就能用自己的“明白”理解我們的“明白”；灌輸的前提是學生愛我們，那你怎么“灌”他都覺得好，否則，你怎么“灌”他就怎么躲。 ??教書表面上是我們怎么上課，骨子里是我們跟孩子的關系。在小學里，孩子天生會愛老師，但是到三年級、四年級時，你就要拿點真功夫出來讓他崇拜你，這樣的愛才會持久。當然，我們要先愛他，要“友”他。 ??所謂育人，本質上是教人如何做人做事。在做人做事中，關鍵要學會思考，從不同的角度進行思考。 ??當下社會中的巨嬰癥是怎么來的？因為他的思維點永遠在“我”，從來沒有過“去我”的經歷。當下社會中的戾氣為何時不時地會冒出來？因為他的思維中只有“我”，沒有對方，沒有第三方。如果每個孩子的思維方式，都能在“我”“我們”“對方”和“第三方”之間自由往返，那么每個孩子就會成長得比較理性、平和而有力量。 ??教師的兩種教法。第一種方法，教師直接告訴除法豎式的寫法，通過練習強化技能的掌握。這樣的課堂效率比較高，基本排除了學生的想法，我們把這種課稱為知識課。第二種方法，教師先呈現學生的想法，讓學生在比較中體驗豎式對運算的記錄意義，從而理解并掌握了除法豎式。基于學生的想法并提升學生的想法，我們把這樣的課稱為種子課。 ??表面來看，種子課的特點就是特別慢。 ??從學生的課堂體驗來看，第一種方法因為將學生的想法排除在外，所以久而久之，學生就會形成這樣的態度：有什么好想的，記牢就好了。第二種方法因為從學生的想法開始，到發現想法的不足，再到接受一種更為合理的想法，所以學生會自然地進行思考并學會反思自己思考的合理性。 ??數學是思維的體操，如果學生認為有什么好想的，數學還是數學嗎？ ??種子課的慢其實不是慢，是數學的本質。而平常我們上課的快不是快，是省略了數學內涵。種子課的慢，是為了將來的快。而平常我們上得快，可能將來會慢。 ??課改的任務是讓學生從被動變為主動，主動的學習就是自主學習，就是生本課堂。 ??我們數學教學的問題，本質上是我們按成人的學習方式組織兒童的學習，不論這種學習用上什么工具、套上什么外衣，都無法掩蓋這個事實。 ??重復是記憶之母，而重復也是負擔之母，也是導致學生失去興趣的原因之一。 ??從兒童出發，是課改的標準。 ??目前，我們擅長的教學是從知識出發到知識，這種教學是最方便最簡單的。對于成人而言，因為有理性的認識，或出于對學歷的需求，會耐著性子刻苦學習。但兒童不知道學這些知識有什么用，他們對學歷也沒有需求，他們無法用理性克制自己。于是，兒童的數學學習就需要用上紀律，用上小紅花等種種誘惑了。 ??但如果我們能夠認識到，兒童與成人的數學學習的差別，從兒童真實可見的經驗理解入手，學生則會十分樂意參與，并在參與的過程中慢慢地、慢慢地……使之突然變成了數學理解。他們會覺得數學是十分有意思的，不需要理性去控制的，因為數學學習的過程本身具有吸引力。 ??我們的課改為什么老是在形式上“打轉轉”？因為我們沒有這份靜心去研究兒童是如何學習數學的。 ??基礎知識可以用“知道”“了解”“理解”這些詞來描述，基本技能可以用“會”“熟練掌握”這些詞來描述。 ??顯性知識可以通過讀、背來記住。隱性知識需要通過經歷來體驗。 ??若顯性知識只以讀、背方式獲得，即等同于“吞吃”。若顯性知識通過經歷的體驗來獲得，即我們說的“嚼吃”，有甜味，或者說有數學味，那這個可感的數學味即我們說的隱性知識。 ??我們教學改革的重點不是去研究教學目標表示為幾個“基”，而是去研究每一節課的體驗點分別在哪里，如何展開體驗性學習，讓老師們實實在在地展開教學。 ??概念課、起始課的特點是從純粹的經驗到純粹的數學，經驗需要用情境來激活，因此，這種學習樣式可以描述為這樣一個過程：創設情境，激活經驗——改造經驗，形成概念——辨析概念，使概念科學化。 ??真正的理解，即所謂的深度學習，用皮亞杰的理論來說，是用內在圖式同化的結果。圖式這個詞很難理解，通俗點說，學生的深度理解是一個用他們的“明白”來明白數學的“明白”的過程。 ??在生活中，我們把平均分成兩份稱為二分法；同樣，把平均分成三份稱為三分法，以此類推。所以，分數1/2的讀法也十分順其自然：二分之一。 ??學的成果如何，取決于是否能夠做到“時習”。 ??對復習課的講座，我的理解是可以分為兩類來討論：一類是以知識掌握為目的的復習課，它的現實意義是指向學習的形成性檢測。一類是為體驗數學的樂趣，深度對數學有深度理解而設計的，因為在復習階段，學生的數學知識儲備比較充分，適合開展一些在新授課中無法開展的學習活動。第一類復習稱為經典復習課，第二類復習稱為拓展復習課。 ??復習的目的主要有三個方面：第一是梳理知識，使知識點系統化、結構化；第二是熟練技能，使學生形成能力，提高正確率；第三是發展思維，讓學生在復習過程中體會數學知識的生成。 ??數學學習，要適當地給學生一點驚喜，讓學生體會到數學原來可以這樣學習。 ??我們數學的教學，不正是致力于讓學生形成一種條理清晰、有邏輯、有順序的數學思維嗎？ ??對概念學習的分類，其意義不在于對知識的掌握，而在于對知識的理解。 ??平均數的概念有兩個要點：要點一，它是代表一組數的整體水平的；要點二，它具有虛擬的特征。就知識的完整性而言，它應該包含以下三個部分：概念——平均數是什么？方法——如何得到平均數？應用——平均數有什么用？ ??概念蘊含著方法與應用：因為具有虛擬性，所以，要得到平均數需要用總數除以總份數或者移多補少。因為平均數代表整體水平，所以，平均數可以用來比較兩組數的水平，具有了統計價值。 ??正確的學習應該是這樣的：從學生的生活中去尋找關于平均數的前概念——從前概念中生長出平均數的概念——從平均數的概念中生長中平均數的求得方法——從平均數的概念中生長出問題解決的應用。 ??一個完整的知識學習，應該包含以下三個問題：1、它是什么？2、怎么得到它？3、它有什么用？ ??它是什么，是概念理解；怎么得到它，通常是計算方法問題；它有什么用，即所謂的問題解決。 ??若我們的小學數學學習只是為了學生的考試，那缺少“是什么”的理解可能也是無關緊要的。但若我們把視角放大一些，可能就會有不同的認識。那么，視角可以放到多大呢？曾有一位德國總理說過這樣的話：小學教師的講臺連著民族的未來。而民族的未來可能很大程度上取決于民族的創新能力。 ??小學學習中對“是什么”的欠缺最后呈現為民族原創能力的欠缺。 ??教學的進步，是慢慢知道了孩子具備哪些我們的知識所對應的經驗，以及如何讓這些經驗與知識之間自然對接，完成生長。這個生長就是皮亞杰的“同化順應”，就是我們說的“理解”。 ??數感培養的種子課盤點：1、整數的認識；2、倍的認識；3、近似數的認識；4、平均數的認識；5、用字母表示數；6、負數的認識。 ??混淆，源于陌生。 ??兩個容易混淆的對象，先深刻認識其中一個后，再認識另外一個，是解決混淆問題的好方法。 ??當孩子的學習發生糾結的時候，我們不要在末端煩惱，而要回到前面去，對分數有正確認識才是分數問題得以正確解決的根本所在。 ??不要以為畫圖是最能懂的，關鍵是要看說明什么問題。 ??每位數學教師的數學教學一定要讓學生深刻地體會到：數學永遠是用思考來解決問題的。 ??方在一定狀態下成為圓，圓里蘊含著許多個方。 ??從現象上看，線是有曲直的；從本質上看，線是無曲直的。 ??審題審什么？首先是審問題的“境“，即情境——是合之境、分之境，抑或等合之境、等分之境。 ??發生的是事的類型，發展的是事的情節。 ??對于書本中某一個知識點的教學，我們需要追根溯源，厘清它的來龍去脈，找準知識的生長銜接處，引導學生學以致用，把所學之“常”，用于非“常”。 ??教學要有“長程的眼光”，應該把教學過程的每個環節看作是這節課的一個局部，把每節課看作是整個教學單元或者教學階段中的一個局部，把每個教學單元或者教學階段看作是整個小學階段的一個局部。 ??種子課就是可供遷移、可供生長的關鍵課。與“生長課”相比較，我們就應更加重視“種子課”的教學，從而起到“舉一反三”“觸類旁通”“促進生成”的作用。 ??一定要對種子課花力氣，精雕細琢。這些課上好了，學生的學習就不會模糊，并于非基點或非節點的生長課上鼓勵學生自己閱讀，自己思考，就不難了。 ??真正的教學頭腦是思維的頭腦，是內省的頭腦，這也是學校應當教學生的東西。 ??只要兒童沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次。 ??用生成替代重復。 ??長度單位的學習在小學數學中應該具有種子課特質。 ??以深刻達成簡約。 ??數學中我們必須由簡單的定性描述（“長短”“輕重”“大小”）過渡到精確的定量，這就是“數學化思想”的一個十分重要的內涵。 ??成功的抽象不僅信賴于多種對象（包括“標準變式”與“非標準定式”，以及“概念變式”與“非概念變式”）的對照比較，更信賴于人們的積極思維。 ??只有從“線段的度量”過渡到了“面積與體積的度量”，我們才能幫助學生很好地理解這樣一個數學思想：數學中我們所希望的是用“計算”代替直接的度量，這事實上可看成“化歸思想”的一個具體應用。 ??人們最初引入的計量單位往往是與自身的計量較為接近的（米與千克），然后，又都是因為實際生活的需要在“宏觀”與“微觀”兩個方向進行了擴展。 ??相對于簡單的回顧與整理而言，我們應當更加重視引導學生對相關內容從整體上做出進一步的分析思考，特別是應超越單純的生成性分析而過渡到整體性的結構性認識上。 ??受教育的人的確跟種子一樣，全都是有生命的，能自己發育，自己生長的；給他們充分的合適的條件，他們就能成為有用之才。所謂辦教育，最主要的就是給受教育者提供充分的合適條件。 ??教師的首要姿態就是去體會，去感悟，去尊重，去喚醒。 ??最早喊出“再窮不能窮教育，再苦不能苦孩子”的是浙江。 ??如果喜歡數學，那學習困難是暫時的；如果不喜歡數學，則學習困難是持久的，積重難返。