放縮法應用大全

祁琳工作坊

放縮法是指在證明不等式時，根據需要證明不等式的值適當的放大或縮小，使它化繁為簡，化難為易，從而達到證明的重要方法。 它是利用不等式的傳遞性，對照所證目標進行合情合理的放大或縮小的過程。 放縮法的合理運用，往往能收到事半功倍的效果，有時能令人拍案叫絕；但其缺點也是顯而易見，如果使用放縮法證題時沒有注意放和縮的“度”，容易造成不能同向傳遞了，即放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及，所以要熟練地駕馭它是件不容易的事。 筆者通過多年的教學實踐證明，若能堅持以下“四個有利于的原則”進行合理的放縮，則容易直達解題目標。 1 堅持放縮后有利于求出其和的原則 當所證明不等式的其中一邊是某一數列的前n項和，但其和不易求出時，則可以對其通項作合理的分析，通過適當的放大或縮小得到一個易于求出其和的新數列，再注意放大或縮小后的數列的前n項和與不等式的另一邊相銜接，從而使問題得到解決。 問題反思 這兩題是關于自然數的不等式，較常規的解法是選擇數學歸納法證明；若用數學歸納法證明本題，其過程會是個“馬拉松”式的工程。 而上述證法的基本思路是通過放縮后能有利于用“拆項消去法”、“同分母相加”來求出其和。就把無限和復雜的問題轉化為有限和簡單的問題了，自然比常規常規方法便捷了許多。比如說例1，本來運算復雜的問題,通過把每一項作恰當的放大，把一項拆成了兩項之差，再求解。 <div> </div> 2 堅持放縮后有利于求出其積的原則 如證明不等式的其中一邊是某一數列的前n項乘積，但其積不易求出，則可對各項作適當的放大或縮小，使其積易于求出，并注意和不等式的另一邊的對話，往往能使問題得到解決。問題反思 在上述證明中，通過引進Ａ的“對偶式”Ｂ,使其過程更加簡捷，把復雜的問題簡單化。當然本題也可用數學歸納法加以證明，若用歸納法證明，其復雜的程度可想而知。 3 堅持放縮后有利于減少變量的原則 若不等式的一邊為常數，另一邊是含有多個字母的代數式，則可把這個代數式看成是關于這些字母的多元函數，通過對多元函數的合理放縮，逐步減少變量，最終得到那個常數即可。問題反思 事實上，上述解法的基本思路是先把α看成常數，求出關于β的函數的最小值，“解決” β后，再求關于α的函數的最小值即可。 4 堅持放縮后有利于取到等號的原則 用放縮法證明不等式時，最不易把握的是放和縮的度，放得過大，縮得過小都會導致解題失敗，當不等式能取到等號時，則每一步的放和縮都不能和等號成立條件相矛盾，即等號成立條件可以看成是進行放縮的“導航儀”。問題反思在平時的數學活動中，特別是在證明不等式的時候，如果始終堅持科學辯證嚴謹的數學思想，始終把握好放與縮的“度”，它終會給我們帶來“柳暗花明又一村”的。下面再看幾個例子： 1. 添加或舍棄一些正項（或負項） 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就舍去了，從而是使和式得到化簡. <div>2. 先放縮再求和（或先求和再放縮）</div> 此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特征, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和. 若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。 3. 先放縮，后裂項（或先裂項再放縮） 本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標. <div>4. 放大或縮小“因式”； </div> <h1>本題通過對因式ak+2 放大，而得到一個容易求和的式子，最終得出證明.</h1> 5. 逐項放大或縮小 本題利用，對中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的。 <div>6. 固定一部分項，放縮另外的項； </div> 此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。 <div>7. 利用基本不等式放縮</div> 本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由放大即可. <div>8. 先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮 </div> 數列不等式放縮法，主要有裂項放縮和等比放縮。下面介紹兩種方法的基本步驟，希望對讀者有所啟發。以上介紹了用“放縮法”幾種常用策略，解題的關鍵在于根據問題的特征選擇恰當的方法，有時還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當地進行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現放縮后得不出結論或得到相反的現象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調整手段。

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