解決（速度-時間型）動態壓軸題的策略—以靜制動

睡不著的海

<h5><font color="#ed2308"> 說明：本文選自中考數學二輪培優教材《沖刺十招》第9招“搞定動態問題”。限于篇幅，今天先推出策略一——限定時間策法。</font></h5> <h5><div style="text-align: center;"><b style=""><font color="#333333">第9招搞定“動態”問題</font></b></div><font color="#ff8a00">【專題解析】</font><br> 運動是絕對的，靜止是相對的.“動”和“靜”是事物存在的兩種最重要的形式.學習運動變換思想，就是讓我們既要學會用發展的動態的眼光來看待這個瞬息萬變的大千世界，又要學會冷靜的思考、準確的判斷，避免心態的狂躁不安；既要我們學會要有“動若脫兔”般的該出手時就出手的勇氣，又要我們學會具有“靜若處子”般的堅定不移的智慧和毅力......<br> 動態問題，作為中考中的常考題型，既是考試的熱點，也是考試的難點.<br> 動態問題，從其運動形式上來分，可分為翻折、平移和旋轉；從其運動對象來說，又可分為動點、動線和動形；從其運動結果來看，又可分為存在性動態問題、定值型動態問題（詳見第1招——絕境逢生用“特值”）、函數型動態問題、最值型動態問題（詳見第5招——胸有成竹會“建模”）.<br> 動態問題難就難在一個“動”字上.因為動，總給人一種不確定和捉摸不定的感覺.所以，解決動態問題的基本策略就是“化動為靜”“以靜制動”.那么，究竟怎樣“化動為靜”、“以靜制動”呢、“靜觀其變”呢？其實，“動”和“靜”本來就是你中有我，我中有你的；“動”和“靜”也是可以相互轉化的。在具體做題時，常常通過以下策略來達到“化動為靜”“以靜制動”的效果。常見的策略有：（1）限定時間法；（2）限定位置法；（3）限定規律法；（4）限定軌跡法；（5）限定圖形法；（6）限定數量法；（7）限定關系法.....當然，這些方法之間也是你中有我，我中有你的......<br><font color="#ff8a00">【適應題型】</font></h5><h5> 單動點問題、雙動點問題、折疊問題、平移問題、旋轉問題、直角三角形的存在性問題、等腰三角形的存在性問題、平行四邊形的存在性問題......<br><font color="#ff8a00">【套路優勢】</font></h5><h5> 以靜制動、化動為靜、動靜相宜、矛盾轉化、化難為易......<br><font color="#ff8a00">【套路分解】</font><br>【套路1】限定時間法<br>（一）基本方法<br> 運動總是離不開時間這個重要的坐標的。當我們把時間確定下來，那么就可以把運動的物體瞬時定位下來。<br></h5><h5> 有速度有方向的動點問題，先把運動時間定下來，用時間“t”來表示，再把相關線段用含t的代數式表示出來，在根據動點在特殊位置滿足的等量關系構造方程或函數來解決問題。</h5> <h5><font color="#167efb"> 如圖1，若點C從A出發，以v的速度向點B運動，設運動時間為t，AB=a，則AC=vt，BC=a-vt；</font></h5> <h5>（二）典型例題</h5> <h5><font color="#167efb">例1、（2019菏澤）如圖2，正方形ABCD的邊長為2cm，動點P，Q同時從點A出發，在正方形的邊上，分別按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度運動，到達點C運動終止，連接PQ，設運動時間為xs，△APQ的面積為ycm2，則下列圖象中能大致表示y與x的函數關系的是（　　）</font></h5> <h5><font color="#ff8a00">【解析】</font>解：①當0≤x≤2時，∵正方形的邊長為2cm，∴y＝S△APQ＝1/2AQ?AP＝1/2x2；<br>②當2≤x≤4時，如圖3，y＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D＝2×2﹣1/2（4﹣x）2﹣1/2×2×（x﹣2）﹣1/2×2×（x﹣2）＝﹣1/2x2+2x.</h5> <h5><font color="#39b54a"> 所以，y與x之間的函數關系可以用兩段二次函數圖象表示，縱觀各選項，只有A選項圖象符合．故選：A．</font></h5> <h5><font color="#167efb">例2、如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4√2，∠B=45°，動點M從B點出發沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設運動的時間為t秒．<br>（1）求BC的長；<br>（2）MN∥AB時，t的值．<br>（3）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．</font></h5> <h5><font color="#ff8a00">【解析】</font>（1）如圖5，作AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F，易知AE=BE=DF=4，EF=AD=3，∵CD=5，則FC=3，∴BC=10；<br></h5><h5>（2）如圖6，過點D作DQ∥AB，當MN∥AB時，MN∥DQ，則易知∠B=∠DQC=∠NMC=45°，且。易知BM=2t，則CM=10-2t，QC=7；CN=t，則有CM:CN=CQ:CD，即(10-2t):t=7:5，t=50/17；</h5> <h5>（3）若△MNC為等腰三角形，須分三種情況討論：<br>①當NC=MC時，即t=10-2t，∴t=10/3；<br>②當MN=NC時，如圖7，過作NH⊥MC于H，由等腰三角形三線合一性質得HC=1/2MC=1/2(10-2t)=5-t，易知△CNH∽△CDF，則CH:CN=CF:CD=3:5,即(5-t):t=3:5，解得t=25/8；<br></h5> <h5>③當MN=MC時，如圖8，過M作MP⊥CN于點P，則PC=1/2NC=1/2t，易證明△CMP∽△CDF，則CM:CP=CD:CF=5:3,即(10-2t):1/2t:5:3，解得t=60/17；<br>綜上所述，當推t=10/3、t=25/8或t=60/17時，△MNC為等腰三角形</h5> <h5>例3、（2018黔西南州）如圖1，已知矩形AOCB，AB＝6cm，BC＝16cm，動點P從點A出發，以3cm/s的速度向點O運動，直到點O為止；動點Q同時從點C出發，以2cm/s的速度向點B運動，與點P同時結束運動．<br>（1）點P到達終點O的運動時間是s，此時點Q的運動距離是cm；<br>（2）當運動時間為2s時，P、Q兩點的距離為cm；<br>（3）請你計算出發多久時，點P和點Q之間的距離是10cm；<br>（4）如圖2，以點O為坐標原點，OC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，1cm長為單位長度建立平面直角坐標系，連結AC，與PQ相交于點D，若雙曲線y=k/x過點D，問k的值是否會變化？若會變化，說明理由；若不會變化，請求出k的值．</h5> <h5><font color="#ff8a00">【解答】</font>解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，∴OA＝BC＝16，∵動點P從點A出發，以3cm/s的速度向點O運動，∴t=16/3，此時，點Q的運動距離是16/3×2=32/3cm，<br></h5><h5>（2）如圖1，由運動知，AP＝3×2＝6cm，CQ＝2×2＝4cm，過點P作PE⊥BC于E，過點Q作QF⊥OA于F，∴四邊形APEB是矩形，∴PE＝AB＝6，BE＝6，∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，根據勾股定理得，PQ＝6√2，<br> （3）設運動時間為t秒時，由運動知，AP＝3t，CQ＝2t，同（2）的方法得，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，∵點P和點Q之間的距離是10cm，∴62+（16﹣5t）2＝100，<br>∴t=8/5或t=24/5；<br>（4）k的值是不會變化，理由：∵四邊形AOCB是矩形，∴OC＝AB＝6，OA＝16，<br>∴C（6，0），A（0，16），∴直線AC的解析式為y=-8/3x+16①，設運動時間為t，<br>∴AP＝3t，CQ＝2t，∴OP＝16﹣3t，∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），∴PQ解析式為<br>y=(5t-16)/6x+16﹣3t②，聯立①②得，-8/3x+16=(5t-16)/6x+16﹣3t，∴(5t-16)/6x+8/3x＝3t，<br>∴5tx﹣16x+16x＝18t，∴x=18/5，∴y=32/5，∴D（18/5，32/5）∴k=18/5×32/5=576/25是定值．</h5> （三）舉一反三 <h5>1、（2018湖北省孝感）如圖1，在△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，動點P從點A開始沿AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動，若P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發，P點到達B點運動停止，則△PBQ的面積S隨出發時間t的函數關系圖象大致是（　　）</h5> <h5>【動態體驗】</h5> <h5>（2019?撫順）如圖2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，CH是AB邊上的高，正方形DEFG的邊DE在高CH上，F，G兩點分別在AC，AH上．將正方形DEFG以每秒1cm的速度沿射線DB方向勻速運動，當點G與點B重合時停止運動．設運動時間為ts，正方形DEFG與△BHC重疊部分的面積為Scm2，則能反映S與t的函數關系的圖象的是（）</h5> <h5>【動態體驗】</h5> <h5>3、（2019吉林省）如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，E為邊BC上一點，BE=AB，連接AE．動點P、Q從點A同時出發，點P以√2cm/s的速度沿AE向終點E運動；點Q以2cm/s的速度沿折線AD﹣DC向終點C運動．設點Q運動的時間為x（s），在運動過程中，點P，點Q經過的路線與線段PQ圍成的圖形面積為y（cm2）．<br>（1）AE= cm，∠EAD= °；<br>（2）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；<br>（3）當PQ=5/4cm時，直接寫出x的值．</h5> <h5>【動感體驗】</h5> <h1 style="text-align: center;"><font color="#ed2308"><b>王橋老師</b></font></h1><font color="#167efb">《中學生數理化》特約編輯，“有趣的數學”欄目專欄作者；<br>“挑戰中考壓軸題名師團”首席講師；<br>鄭州市首屆金牌教師；<br>主編《中考專家》《非常教案》《中考面對面》《中招亮劍》《沖刺十招》《沙場秋點兵》《春季攻勢》等多部教材教輔；<br>《中學生數理化》《理科考試研究》等雜志發表論文200余篇。</font><br> <h3><font color="#ed2308">特別提醒：</font>中考系列培優課程——中考數學一輪培優系統——《春季攻勢》已經接近尾聲......<br> 一輪培優系統重在幫助學生在梳理知識，建立知識網絡的同時，建立起學生的思想方法系統。具體上課內容及時間安排如下：</h3> <h5></h5><h3><b><font color="#ed2308">中考系列培優課程——中考數學二輪培優系統——《沖刺十招》4月中旬開講</font></b></h3><div><b><font color="#ed2308"> </font></b>第二階段：中考數學二輪培優系統——《沖刺十招》，共設計10講20課時。</div> 二輪培優以解題思想方法和解題策略專題為主，重點幫助學生在一輪的培優的基礎上，逐漸建立學生的能力系統。具體課程安排如下： <h5 style="text-align: right;"><font color="#39b54a">課程咨詢：張老師：18530923233 / 步老師：13837175593</font><br></h5> <font color="#ed2308"><b>第二屆“全國中考數學二輪備考研討會”將首次采用線上研討的形式，敬請期待</b></font> <h5><b style=""><font color="#ff8a00">好消息：</font><font color="#333333">《沖刺十招》近期正在努力修訂中，近期將與大家見面。另有《沙場秋點兵》已經售罄，近期不再考慮重印。另少量《春季攻勢》，需要請聯系</font></b></h5> <h5 style="text-align: right;">如需幾何畫板課件可聯系我</h5>